Matrisfaktorisering

Inom matematiken, specifikt linjär algebra, är en matrisfaktorisering en uppdelning av en matris i flera matriser på ett speciellt sätt. Det finns många sorters matrisfaktoriseringar, med tillämpningar inom olika sorters problem.

Faktoriseringar för att lösa linjära ekvationssystem

LU-faktorisering

För alla kvadratiska matriser A, kan matrisen delas upp i så att ${\displaystyle A=LU}$ för en nedåt triangulär matris L och en uppåt triangulär matris U. Detta kan sedan användas för att snabbare lösa ekvationssystem av typen ${\displaystyle Ax=b}$.

Choleskyfaktorisering

Choleskyfaktorisering kan ses som ett specialfall av LU-faktorisering; om matrisen A är symmetrisk och positivt definit kan A representeras av ${\displaystyle A=U^{T}U}$ för en uppåt triangulär matris U.

QR-faktorisering

QR-faktorisering kan göras för alla ${\displaystyle m\times n}$-matriser A. Matrisen A skrivs som ${\displaystyle A=QR}$ för en ortogonal matris Q och en uppåt triangulär matris R. Då Q är ortogonal (${\displaystyle Q^{-1}=Q^{T}}$) kan ekvationssystemet ${\displaystyle Ax=b}$ skrivas ${\displaystyle QRx=b\Leftrightarrow Rx=Q^{T}b}$, som är lättare att lösa.

Uppdelningar med egenvärden och liknande

Diagonalisering

Om en ${\displaystyle n\times n}$-matris A har n egenvärden och lika många egenvektorer (om egenvärdena är distinkta så finns lika många egenvektorer), kan matrisen skrivas på formen ${\displaystyle A=TDT^{-1}}$ där D är en diagonalmatris och T är en matris med egenvektorer. I vissa fall kan T göras till en ortogonal matris U så att ${\displaystyle A=UDU^{T}}$. Se även spektralsatsen.

Jordans normalform

För en given kvadratisk matris A blir jordans normalform ${\displaystyle A=TJT^{-1}}$, där T utgörs av A:s egenvektorer och J är en blockdiagonal matris. Varje block i J är bidiagonalt med A:s egenvärden i diagonalen och antingen ettor eller nollor i superdiagonalen. Diagonalisering är ett specialfall av jordans normalform.

Singulärvärdesuppdelning

Varje ${\displaystyle m\times n}$-matris A kan singulärvärdesuppdelas, enligt ${\displaystyle A=UDV^{H}}$ för unitära matriser U och V och så att D har storleken ${\displaystyle m\times n}$ och endast har värden (dessa värden kallas singulärvärden) i diagonalen. ${\displaystyle V^{H}}$ betecknar det hermiteska konjugatet till V.