Теорема о запрете клонирования

Эта статья — о запрете клонирования в квантовой механике. О запрете клонирования человека см. Клонирование человека#Законодательство о клонировании человека.

Квантовая механика
Введение^[англ.] История Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Бра и кет Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление Гейзенберга Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Клейна — Гордона Дирака Швингера — Томонаги фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Локальная^[англ.] Супердетерминизм Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения Глоссарий^[англ.] ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Теоре́ма о запре́те клони́рования — утверждение квантовой теории о невозможности создания идеальной копии произвольного неизвестного квантового состояния. Теорема была сформулирована Вуттерсом, Зуреком и Диэксом в 1982 году и имела огромное значение в области квантовых вычислений, квантовой теории информации и смежных областях.

Состояние одной квантовой системы может быть запутанным с состоянием другой системы. Например, создать запутанное состояние двух кубитов можно с помощью однокубитного преобразования Адамара и двухкубитного квантового вентиля C-NOT. Результатом такой операции не будет клонирование, поскольку результирующее состояние нельзя описать на языке состояний подсистем (состояние является нефакторизуемым). Клонирование — это такая операция, в результате которой создается состояние, являющееся тензорным произведением идентичных состояний подсистем.

Доказательство

Пусть мы хотим создать копию системы A, которая находится в состоянии ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ (см. обозначения Дирака). Для этого возьмем систему B с тем же самым гильбертовым пространством, находящуюся в начальном состоянии ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$. Начальное состояние, конечно, не должно зависеть от состояния ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$, поскольку это состояние нам неизвестно. Составная система A + B описывается тензорным произведением состояний подсистем:

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}\equiv |\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}.}$

С составной системой можно произвести два различных действия.

1. Мы можем измерить её состояние, что приведет к необратимому переходу системы в одно из собственных состояний измеряемой наблюдаемой и к (частичной) потере информации об исходном состоянии системы A. Очевидно, такой сценарий нам не подходит.
2. Другая возможность заключается в применении унитарного преобразования U, должным образом «настраивая» гамильтониан системы. Оператор U будет клонировать состояние системы, если

${\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}}$

и ${\displaystyle U|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}}$

для всех ${\displaystyle |\phi \rangle }$ и ${\displaystyle |\psi \rangle .}$

Согласно определению унитарного оператора, U сохраняет скалярное произведение:

${\displaystyle \langle e|_{B}\langle \phi |_{A}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{B}\langle \phi |_{A}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B},}$

то есть

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.}$

Из этого следует, что либо ${\displaystyle |\phi \rangle =|\psi \rangle ,}$ либо состояния ${\displaystyle |\phi \rangle }$ и ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ортогональны (что в общем случае, конечно, неверно). Таким образом, операция U не может клонировать произвольное квантовое состояние.

Теорема о запрете клонирования доказана.

Неточное копирование

Хотя создание точных копий неизвестного квантового состояния невозможно, можно тиражировать его неточные копии. Для этого нужно привести исходную систему во взаимодействие с большей вспомогательной системой и провести специальное унитарное преобразование комбинированной системы, в результате которого несколько компонентов большей системы станут приблизительными копиями исходной. Такой процесс может быть использован для атаки на квантовые криптографические системы, а также для других целей в квантовых вычислениях.

См. также

• Квантовая телепортация
• Квантовая запутанность
• Квантовый компьютер
• Квантовая криптография
• Квантовые деньги

Литература

• Wootters W., Zurek W. H. A Single Quantum Cannot be Cloned (англ.) // Nature / M. Skipper — NPG, Springer Science+Business Media, 1982. — Vol. 299. — P. 802—803. — ISSN 1476-4687; 0028-0836 — doi:10.1038/299802A0
• Dieks D. Communication by EPR devices (англ.) // Physics Letters A — Elsevier BV, 1982. — Vol. 92, Iss. 6. — P. 271—272. — ISSN 0375-9601; 1873-2429 — doi:10.1016/0375-9601(82)90084-6
• V B. V., M H. Quantum copying: Beyond the no-cloning theorem, Quantum cloning (англ.): Beyond the No-Cloning Theorem // Physical Review A: covering atomic, molecular, and optical physics and quantum information — College Park: American Physical Society, 1996. — Vol. 54, Iss. 3. — P. 1844—1852. — ISSN 2469-9926; 2469-9934; 2469-9942 — doi:10.1103/PHYSREVA.54.1844 — PMID:9913670 — arXiv:quant-ph/9607018
• Scarani V., Iblisdir S., Gisin N., Acín A. Quantum cloning (англ.) // Reviews of Modern Physics / G. D. Sprouse, P. Meystre — APS, 2005. — Vol. 77, Iss. 4. — P. 1225—1256. — ISSN 0034-6861; 1539-0756; 1538-4527 — doi:10.1103/REVMODPHYS.77.1225 — arXiv:quant-ph/0511088
• Бауместер, Д. Физика квантовой информации  / Д. Бауместер, А. Экерт, А. Цайлингер. — М. : Постмаркет, 2002. — 376 с.
• Нильсен, М. Квантовые вычисления и квантовая информация / М. Нильсен, И. Чанг. — М. : Мир, 2006. — 824 с.
• Прескилл, Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. — Ижевск : РХД, 2008. — Т. 1. — 464 с. — ISBN 978-5-93972-651-1.