Квантовая наблюдаемая

Квантовая механика
Введение^[англ.] История Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Бра и кет Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление Гейзенберга Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Клейна — Гордона Дирака Швингера — Томонаги фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Локальная^[англ.] Супердетерминизм Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения Глоссарий^[англ.] ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Ква́нтовая наблюда́емая (наблюда́емая ква́нтовой систе́мы, иногда просто наблюда́емая) является линейным самосопряжённым оператором, действующим на сепарабельном (комплексном) гильбертовом пространстве чистых состояний квантовой системы. В интуитивном физическом понимании норма оператора наблюдаемой представляет собой наибольшую абсолютную величину измеряемого числового значения физической величины.

Иногда вместо термина «наблюдаемая» используют «динамическая величина», «физическая величина». Однако температура и время являются физическими величинами, но не являются наблюдаемыми в квантовой механике.

Тот факт, что квантовым наблюдаемым сопоставляются линейные операторы, ставит проблему связи этих математических объектов с экспериментальными данными, которые являются вещественными числами. На опыте измеряются вещественные числовые значения, соответствующие наблюдаемой в заданном состоянии. Важнейшими характеристиками распределения числовых значений на вещественной прямой являются среднее значение ${\displaystyle \langle A\rangle }$ наблюдаемой и дисперсия ${\displaystyle D(A)}$ наблюдаемой.

Обычно постулируют, что возможные числовые значения квантовой наблюдаемой, которые могут быть измерены экспериментально, являются собственными значениями оператора этой наблюдаемой.

Говорят, что наблюдаемая ${\displaystyle A}$ в состоянии ${\displaystyle \rho }$ имеет точное значение, если дисперсия ${\displaystyle A}$ равна нулю ${\displaystyle D(A)=0}$.

Другое определение квантовой наблюдаемой: наблюдаемыми квантовой системы являются самосопряжённые элементы ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры.

Использование структуры ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры позволяет сформулировать классическую механику аналогично квантовой. При этом для некоммутативных ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр, описывающих квантовые наблюдаемые, имеет место теорема Гельфанда — Наймарка: любая ${\displaystyle C^{*}}$-алгебра может быть реализована алгеброй ограниченных операторов, действующих в некотором гильбертовом пространстве. Для коммутативных ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр, описывающих классические наблюдаемые, имеем следующую теорему: всякая коммутативная ${\displaystyle C^{*}}$-алгебра ${\displaystyle M}$ изоморфна алгебре непрерывных функций, заданных на компактном множестве максимальных идеалов алгебры ${\displaystyle M}$.

В квантовой механике часто постулируется следующее утверждение. Каждой паре наблюдаемых ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ соответствует наблюдаемая ${\displaystyle C}$, устанавливающая нижнюю грань одновременной (для одного и того же состояния) измеримости ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, в том смысле, что ${\displaystyle D(A)D(B)\geq \langle C\rangle ^{2}}$, где ${\displaystyle D(A)}$ — дисперсия наблюдаемой, равная ${\displaystyle \langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}$. Это утверждение, называемое принципом неопределённости, выполняется автоматически, если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ являются самосопряжёнными элементами ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры. При этом принцип неопределённости принимает свою обычную форму, где ${\displaystyle C=i[A,B]}$.

Понятия квантовой наблюдаемой и квантового состояния являются дополнительными, дуальными. Эта дуальность связана с тем, что в опыте определяются лишь средние значения наблюдаемых, а в это понятие входит и понятие наблюдаемой, и понятие состояния.

Если эволюция квантовой системы во времени полностью характеризуется её гамильтонианом, то уравнением эволюции наблюдаемой является уравнение Гейзенберга. Уравнение Гейзенберга описывает изменение квантовой наблюдаемой гамильтоновой системы с течением времени.

В классической механике наблюдаемой называется вещественная гладкая функция, определённая на гладком вещественном многообразии, описывающем чистые состояния классической системы.

Между классическими и квантовыми наблюдаемыми существует взаимосвязь. Обычно полагают, что задать процедуру квантования означает установить правило, согласно которому каждой наблюдаемой классической системе, то есть функции на гладком многообразии, ставится в соответствие некоторая квантовая наблюдаемая. В квантовой механике наблюдаемыми считаются операторы в гильбертовом пространстве. В качестве гильбертова пространства обычно выбирают комплексное бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Сама функция, соответствующая данному оператору, при этом называется символом оператора.

См. также

• Полная система коммутирующих наблюдаемых
• Уравнение Гейзенберга
• Уравнение Линдблада
• Теорема Эренфеста

Литература

• Березин Ф. А., Шубин М. А., «Уравнение Шредингера» М.: МГУ, 1983. 392 с.
• Бом Д. «Квантовая механика: основы и приложения» пер с англ. М.: Мир, 1990. — 720 с.
• Брателли У., Робинсон Д. «Операторные алгебры и квантовая статистическая механика» М.: Мир, 1982. — 512 с.
• Джет Неструев «Гладкие многообразия и наблюдаемые» Архивная копия от 20 июля 2011 на Wayback Machine, МЦНМО, Москва, 2000—300 c.
• Фадеев Л. Д., Якубовский О. А. «Лекции по квантовой механике для студентов-математиков» Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. — 200 с.
• Эмх Ж. «Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля» М.: Мир, 1976. 424 с.