Компактификация Стоуна — Чеха

Компактификация Стоуна — Чеха (также стоун-чеховская или чех-стоунова компактификация) — максимальная компактификация вполне регулярного топологического пространства.

Компактификация Стоуна — Чеха пространства ${\displaystyle X}$ обычно обозначается как ${\displaystyle \beta X}$.

История

Конструкция компактификации Стоуна — Чеха была впервые рассмотрена Тихоновым[1] в 1930 году. Более явно она была описана в 1937 году Стоуном [2] и Эдуардом Чехом[3].

Универсальное свойство

${\displaystyle \beta X}$ — это компактное хаусдорфово пространство вместе с непрерывным отображением из ${\displaystyle X,}$ удовлетворяющее следующему универсальному свойству: любое непрерывное отображение ${\displaystyle f:X\to K}$ в компактное хаусдорфово пространство ${\displaystyle K}$ можно однозначно продолжить до непрерывного отображения ${\displaystyle \beta f:\beta X\to K,}$ такого что следующая диаграмма коммутативна:

В случае, если исходное пространство ${\displaystyle X}$ было вполне регулярным, отображение ${\displaystyle X\to \beta X}$ является гомеоморфизмом ${\displaystyle X}$ на образ этого отображения (то есть вложением).

Замечание

• Несмотря на то, что универсальное свойство однозначно определяет компактификацию с точностью до изоморфизма, для доказательства существования компактификации нужно описать явную конструкцию.

Конструкция

Обозначим через ${\displaystyle A}$ множество всех непрерывных функций ${\displaystyle \alpha \colon X\to [0,1]}$. Можно проверить, что отображение ${\displaystyle F:X\to [0,1]^{A}}$ (тихоновский куб), определяемое равенством

${\displaystyle x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A}}$,

является гомеоморфизмом ${\displaystyle X}$ на свой образ ${\displaystyle F(X)\subset [0,1]^{A}}$. Замыкание ${\displaystyle F(X)}$ в ${\displaystyle [0,1]^{A}}$ и будет искомой компактификацией.

Свойства

• Если ${\displaystyle X}$ является дискретным пространством, его компактификация — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств ${\displaystyle X,}$ наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров ${\displaystyle G}$ можно взять множества ${\displaystyle D_{a}=\{U\in G|a\in U\}}$ для всевозможных ${\displaystyle a\in P(X).}$

Примечания

1. Tychonoff, A. (1930), Über die topologische Erweiterung von Räumen, — Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 102: 544—561
2. Stone, M.H. (1937), Applications of the theory of Boolean rings to general topology, — Trans. Amer. Soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3) 41 (3): 375—481
3. Čech, E. (1937), On bicompact spaces, — Ann. Math. (The Annals of Mathematics, Vol. 38, No. 4) 38 (4): 823—844

Литература

• Стоуна — Чеха бикомпактное расширение — статья из Математической энциклопедии. Кожевникова И. Г.
• Dror Bar-Natan, Ultrafilters, Compactness, and the Stone-Čech compactification