Ультрафильтр

Тёмно-зелёным отмечен фильтр, не являющийся ультрафильтром. При добавлении к нему светло-зелёных элементов образуется ультрафильтр.

Ультрафильтр на решётке ${\displaystyle F}$ — это максимальный собственный фильтр[1]. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Определение

Собственный фильтр ${\displaystyle F}$ на решётке ${\displaystyle L}$ является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (то есть отличном от ${\displaystyle F}$) фильтре.

Набор ${\displaystyle F}$ подмножеств множества ${\displaystyle X}$ называется ультрафильтром на ${\displaystyle X}$, если

• ${\displaystyle \varnothing \notin F}$
• для любых двух элементов ${\displaystyle F}$, их пересечение также лежит в ${\displaystyle F}$
• для любого элемента ${\displaystyle F}$, все его надмножества лежат в ${\displaystyle F}$
• для любого подмножества ${\displaystyle Y\subseteq X}$ либо ${\displaystyle Y\in F}$, либо ${\displaystyle X\backslash Y\in F}$

Замечания

• ${\displaystyle F}$ является ультрафильтром если функция на множествах ${\displaystyle S\subset X}$, заданная как ${\displaystyle \omega _{F}(S)=1}$, если ${\displaystyle S\in F}$, и ${\displaystyle \omega _{F}(S)=0}$ в противном случае, то ${\displaystyle \omega _{F}}$ является конечно-аддитивной вероятностной мерой на ${\displaystyle X}$.

Ультрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка ${\displaystyle L}$ является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр ${\displaystyle F}$ является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента ${\displaystyle x\in L}$ либо ${\displaystyle x\in F}$, либо ${\displaystyle -x\in F}$

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры

• Минимальный фильтр, содержащий данный элемент ${\displaystyle x}$, называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом ${\displaystyle x}$.
  • Любой главный фильтр является ультрафильтром
  • Основные приложения имеют неглавные ультрафильтры.
• подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории ${\displaystyle T}$, состоящее из теорем ${\displaystyle T}$

Свойства

• ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
• любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
• если ${\displaystyle F}$ — главный ультрафильтр на множестве ${\displaystyle X}$, то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
• если ${\displaystyle F}$ — неглавный ультрафильтр на множестве ${\displaystyle X}$, то пересечение всех его элементов пусто.
• Каждый фильтр содержится в ультрафильтре.
  • Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора.
  • Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
  • Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
• Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства ${\displaystyle X}$ — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств ${\displaystyle X}$ наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров ${\displaystyle G}$ можно взять множества ${\displaystyle D_{a}=\{U\in G|a\in U\}}$ для всевозможных ${\displaystyle a\in P(X).}$

Приложения

• Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения.
• Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха.
• Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу.
• Ультрафильтры используются в комбинаторике, например в теории Рамсея.[2]

Примечания

1. Постников М. М. Лекции по геометрии: Гладкие многообразия. — 2. — URSS, 2017. — С. 166—170. — 480 с. — ISBN 978-5-9710-3916-7.
2. Isaac Goldbring. Ultrafilter methods in combinatorics (англ.) // Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach. — 2021. — No. 6. Архивировано 24 января 2022 года.