Вполне регулярное пространство

Вполне регулярное пространство или тихоновское пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T₁ и T_3½, то есть такое топологическое пространство, в котором все одноточечные множества замкнуты и для любого замкнутого множества и точки вне его существует непрерывная числовая функция, равная единице на множестве и нулю в точке (А. Н. Тихонов, 1930).

Свойства

• Каждое тихоновское пространство регулярно.
• Подпространство тихоновского пространства — тихоновское.
• Произведение любого количества тихоновских пространств — тихоновское.
• Топологическое пространство является тихоновским тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно подпространству тихоновского куба некоторого веса ${\displaystyle m}$.
• Топологическое пространство является тихоновским тогда и только тогда, когда оно имеет хаусдорфову компактификацию.
• Топология на пространстве ${\displaystyle X}$ тихоновская тогда и только тогда, когда она порождается некоторой отделимой равномерностью.
• Каждое топологическое векторное пространство вполне регулярно.

Примеры

Тихоновскими пространствами являются:

• Нормальные пространства, в частности метрические пространства
• Локально компактные хаусдорфовы пространства
• Топологические группы, удовлетворяющие аксиоме отделимости T₀, в частности топологические векторные пространства
• Пространства ординалов с порядковой топологией
• Плоскость Немыцкого — пример тихоновского пространства, не являющегося нормальным

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Богачев В.И., Смолянов О.Г. , Соболев В.И. Топологические векторные пространства и их приложения.