Тихоновский куб

Тихоновский куб — единичный куб в ${\displaystyle m}$-мерном пространстве, где ${\displaystyle m}$ — произвольное кардинальное число, называемое весом куба (оно равно весу тихоновского куба как топологического пространства), то есть, ${\displaystyle m}$-кратное прямое произведение (с топологией произведения) единичного отрезка ${\displaystyle \mathbb {I} =[0,1]}$ — ${\displaystyle \mathbb {I} ^{m}}$. Введён в общую топологию в 1929 году Андреем Николаевичем Тихоновым.

Если ${\displaystyle m}$ — натуральное число, то тихоновский куб является единичным кубом в евклидовом пространстве; гильбертов кирпич — тихоновский куб счётного веса.

Тихоновский куб ${\displaystyle \mathbb {I} ^{m}}$ — универсальное пространство для всех тихоновских пространств и компактных хаусдорфовых пространств веса не больше ${\displaystyle m}$. По теореме Тихонова тихоновский куб любого веса компактен. Если ${\displaystyle n\leqslant m}$, то куб ${\displaystyle \mathbb {I} ^{n}}$ вкладывается в ${\displaystyle \mathbb {I} ^{m}}$. Число Суслина для любого тихоновского куба счётно, вне зависимости от его веса.

Литература

• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 137—139. — 752 с.
• Тихоновский куб — статья из Математической энциклопедии. Архангельский А. В.