Задача Штурма — Лиувилля

Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке ${\displaystyle (a,\;b)}$ уравнения Штурма — Лиувилля

${\displaystyle L[y]=\lambda \rho (x)y(x),}$

удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

${\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}}$

и значений параметра ${\displaystyle \lambda }$, при которых такие решения существуют.

Оператор ${\displaystyle L[y]}$ здесь — это действующий на функцию ${\displaystyle y(x)}$ линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

${\displaystyle L[y]\equiv {\frac {d}{dx}}\left[-p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)}$

(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), ${\displaystyle x}$ — вещественный аргумент.

Функции ${\displaystyle p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho (x)}$ предполагаются непрерывными на ${\displaystyle (a,\;b)}$, кроме того функции ${\displaystyle p(x),\;\rho (x)}$ положительны на ${\displaystyle (a,\;b)}$.

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения ${\displaystyle \lambda }$, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Постановка задачи

Вид уравнения

Если функции ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle p}$ дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и функция ${\displaystyle q}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,\;b]}$, то уравнение Штурма — Лиувилля вида

${\displaystyle (p(x)y')'-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0}$

при помощи преобразования Лиувилля приводится к виду[1][2]

${\displaystyle -y''+q_{1}(x)y=\lambda y.\qquad (1)}$

Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию ${\displaystyle q_{1}(x)}$ называют потенциалом[3][4]. Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными, ${\displaystyle L}$ (суммируемыми), ${\displaystyle L_{2}}$ и других.

Виды краевых условий

• Условия Дирихле ${\displaystyle y(a)=y(b)=0.}$
• Условия Неймана ${\displaystyle y'(a)=y'(b)=0}$
• Условия Робена ${\displaystyle y'(a)-hy(a)=0,\quad y'(b)+Hy(b)=0.}$
• Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка ${\displaystyle [a,\;b]}$.
• Распадающиеся краевые условия общего вида

${\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0.\\\end{array}}}$

• Периодические условия ${\displaystyle y(a)=y(b),\quad y'(a)=y'(b)}$.
• Антипериодические условия ${\displaystyle y(a)=-y(b),\quad y'(a)=-y'(b)}$.
• Общие краевые условия

${\displaystyle a_{i1}y(a)+a_{i2}y'(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}y'(b)=0,\quad i=1,\;2.}$

В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты ${\displaystyle a_{ij}}$.[3][5]

Для удобства произвольный отрезок ${\displaystyle [a,\;b]}$ часто переводят в отрезок ${\displaystyle [0,\;l]}$ или ${\displaystyle [0,\;\pi ]}$ с помощью замены переменной.

Оператор Штурма — Лиувилля

Оператор Штурма — Лиувилля

${\displaystyle Ly=-{\frac {1}{\rho (x)}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {d}{dx}}y\right]-q(x)y{\Bigr )}}$

представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора[6]

${\displaystyle p_{0}(x)y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y.}$

Область определения оператора ${\displaystyle L}$ состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$ функций ${\displaystyle y}$, удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора ${\displaystyle L}$: ${\displaystyle Ly=\lambda y}$. Если функции ${\displaystyle p,\ q,\ \rho }$ и коэффициенты краевых условий вещественные, оператор ${\displaystyle L}$ является самосопряжённым в гильбертовом пространстве ${\displaystyle L_{2}([a,\;b],\;\rho (x)\,dx)}$. Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом ${\displaystyle \rho (x)}$.

Решение задачи

Пример

Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:

${\displaystyle -y''=\lambda y,\qquad (2)}$

${\displaystyle y(0)=y(l)=0}$

может быть найдено в явном виде[7]. Пусть ${\displaystyle \lambda =\rho ^{2}}$. Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном ${\displaystyle \lambda }$ имеет вид

${\displaystyle y(x)=A\sin \rho x+B\cos \rho x\qquad (3)}$

(в частности, при ${\displaystyle \rho =0}$ (3) дает ${\displaystyle y(x)=Ax+B}$). Из ${\displaystyle y(0)=0}$ следует ${\displaystyle B=0}$. Подставляя (3) в краевое условие ${\displaystyle y(l)=0}$, получаем ${\displaystyle A\sin \rho l=0}$. Так как мы ищем нетривиальные решения, то ${\displaystyle A\neq 0}$, и мы приходим к уравнению на собственные значения

${\displaystyle \sin \rho l=0.}$

Его корни ${\displaystyle \rho _{n}={\frac {\pi n}{l}}}$, следовательно, искомые собственные значения имеют вид

${\displaystyle \lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots }$

а соответствующие им собственные функции суть

${\displaystyle y_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots }$

(с точностью до постоянного множителя).

Общий случай

В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля

${\displaystyle -y''+q(x)y=\lambda y\qquad (4)}$

представимо в виде линейной комбинации

${\displaystyle y(x)=AS(x,\;\lambda )+BC(x,\;\lambda )\qquad (5)}$

его решений ${\displaystyle S(x,\;\lambda )}$ и ${\displaystyle C(x,\;\lambda )}$, удовлетворяющих начальным условиям

${\displaystyle S(0,\;\lambda )=C'(0,\;\lambda )=0,\quad S'(0,\;\lambda )=C(0,\;\lambda )=1}$.

Решения ${\displaystyle S(x,\;\lambda )}$ и ${\displaystyle C(x,\;\lambda )}$ образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по ${\displaystyle \lambda }$ при каждом фиксированном ${\displaystyle x}$. (При ${\displaystyle q(x)\equiv 0}$ ${\displaystyle S(x,\;\lambda )=\sin \rho x}$, ${\displaystyle C(x,\;\lambda )=\cos \rho x}$, ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\lambda }}}$). Подставляя (5) в краевые условия ${\displaystyle y(0)=y(\pi )=0}$, получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции

${\displaystyle \Delta (\lambda )=S(\pi ,\;\lambda ),}$

аналитической во всей ${\displaystyle \lambda }$-плоскости.[4]

В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}_{n}=n+{\frac {c}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),\quad c={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }q(\tau )\,d\tau ,}$

${\displaystyle y_{n}(x)=\sin nx+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),}$

(в случае непрерывного на ${\displaystyle [0,\;\pi ]}$ потенциала ${\displaystyle q(x)}$).[8] При больших ${\displaystyle n}$ собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из примера с нулевым потенциалом.

Свойства собственных значений и собственных функций

• Существует бесконечное счетное множество собственных значений: ${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots }$
• Каждому собственному значению ${\displaystyle \lambda _{n}}$ соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция ${\displaystyle y_{n}}$.
• Все собственные значения вещественны.
• В случае граничных условий ${\displaystyle y(a)=y(b)=0}$ и при выполнении условия ${\displaystyle q(x)\geqslant 0}$ все собственные значения положительны ${\displaystyle \lambda _{n}>0}$.
• Собственные функции ${\displaystyle y_{n}(x)}$ образуют на ${\displaystyle [a,\;b]}$ ортогональную с весом ${\displaystyle \rho (x)}$ систему ${\displaystyle \{y_{n}(x)\}}$:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)\rho (x)\,dx=0,\quad n\neq m.}$

• Имеет место теорема Стеклова.

Численные методы решения

• Метод стрельбы. Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле ${\displaystyle y(a)=y(b)=0}$, можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями ${\displaystyle u(a)=0}$, ${\displaystyle u'(a)=\lambda }$ и вести пристрелку параметра ${\displaystyle \lambda }$ до выполнения правого краевого условия.[9]
• Метод конечных разностей[10][11]. Строится конечно-разностная аппроксимация, которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
• Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция ${\displaystyle y=\{y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{N}\}}$ дополняется компонентой ${\displaystyle y_{N+1}=\lambda }$. Относительно дополненного вектора получается нелинейная система, которая может быть решена методом Ньютона.[12]
• Метод Галёркина.[13]
• Вариационные методы.[14]

Применение к решению уравнений в частных производных

Основная статья: Метод Фурье

Задачи Штурма — Лиувилля возникают при решении уравнений в частных производных методом разделения переменных.

В качестве примера рассмотрим краевую задачу для уравнения гиперболического типа:

${\displaystyle \rho (x)u_{tt}=(k(x)u_{x})_{x}-q(x)u,\quad 0<x<l,\;t>0,\qquad (6)}$

${\displaystyle (h_{1}u_{x}-hu)_{|x=0}=0,\quad (H_{1}u_{x}+Hu)_{|x=l}=0,\qquad (7)}$

${\displaystyle u_{|t=0}=\Phi (x),\quad u_{t|t=0}=\Psi (x).\qquad (8)}$

Здесь ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle t}$ — независимые переменные, ${\displaystyle u(x,\;t)}$ — неизвестная функция, ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle \Phi }$, ${\displaystyle \Psi }$ — известные функции, ${\displaystyle h,\ h_{1},\ H,\ H_{1}}$ — вещественные числа.[15] Будем искать не равные тождественно нулю частные решения уравнения (6), удовлетворяющие краевым условиям (7) в виде

${\displaystyle u(x,t)=Y(x)T(t).\qquad (9)}$

Подстановка вида (9) в уравнение (6) дает

${\displaystyle {\frac {(k(x)Y'(x))'-q(x)Y(x)}{\rho (x)Y(x)}}={\frac {T''(t)}{T(t)}}.}$

Так как ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle t}$ — независимые переменные, то равенство возможно только если обе дроби равны константе. Обозначим эту константу через ${\displaystyle -\lambda }$. Получаем

${\displaystyle T''(t)+\lambda T(t)=0,\qquad (10)}$

${\displaystyle -(k(x)Y'(x))'+q(x)Y(x)=\lambda \rho (x)Y(x),\quad 0<x<l.\qquad (11)}$

Подстановка вида (9) в краевые условия (7) дает

${\displaystyle h_{1}Y'(0)-hY(0)=0,\quad H_{1}Y'(l)+HY(l)=0.\qquad (12)}$

Нетривиальные решения (6) — (7) вида (9) существуют только при значениях ${\displaystyle \lambda }$, являющихся собственными значениями задачи Штурма — Лиувилля (11) — (12) ${\displaystyle \lambda _{n}}$. Эти решения имеют вид ${\displaystyle T_{n}(t)Y_{n}(x)}$, где ${\displaystyle Y_{n}(x)}$ — собственные функции задачи (11) — (12), ${\displaystyle T_{n}(t)}$ — решения уравнения (10) при ${\displaystyle \lambda =\lambda _{n}}$. Решение задачи (6) — (8) находится в виде суммы частных решений (ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля ${\displaystyle Y_{n}(x)}$):

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}(t)Y_{n}(x).}$

Обратные задачи Штурма — Лиувилля

Обратные задачи Штурма — Лиувилля состоят в восстановлении потенциала ${\displaystyle q(x)}$ оператора Штурма — Лиувилля ${\displaystyle -y''+q(x)y}$ и коэффициентов краевых условий по спектральным характеристикам.[8][3][4] Обратные задачи Штурма — Лиувилля и их обобщения имеют приложения в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Существует важный метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (например, уравнения КдФ), связанный с использованием обратной задачи Штурма — Лиувилля на оси (${\displaystyle -\infty <x<\infty }$).

Одного спектра (множества собственных значений) как правило недостаточно для того, чтобы однозначно восстановить оператор. Поэтому в качестве исходных данных обратной задачи обычно используют следующие спектральные характеристики:

1. Два спектра, соответствующие разным краевым условиям (задача Борга).
2. Спектральные данные, включающие в себя собственные значения и весовые числа, равные квадратам норм собственных функций в пространстве ${\displaystyle L_{2}}$.
3. Функцию Вейля — мероморфную функцию, равную отношению двух характеристических функций разных краевых задач.

Каждый из наборов данных 1 — 3 однозначно определяет потенциал ${\displaystyle q(x)}$. Кроме того, задание функции Вейля равносильно заданию двух спектров или спектральных данных, поэтому обратные задачи по данным 1 — 3 эквивалентны. Существуют конструктивные методы решения обратных задач Штурма — Лиувилля, основанные на сведении нелинейных обратных задач к линейным уравнениям в некоторых банаховых пространствах.[4]

См. также

• Краевая задача
• Собственный вектор
• Дифференциальный оператор
• Метод разделения переменных

Примечания

1. Левитан, Саргсян, 1988, с. 10.
2. Юрко, 2010, с. 45.
3. Марченко, 1977.
4. Юрко, 2007.
5. Наймарк, 1969, с. 72.
6. Наймарк, 1969.
7. Юрко, 2010, с. 25.
8. Левитан, Саргсян, 1988.
9. Калиткин, 1978, с. 281.
10. Калиткин, 1978, с. 284.
11. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — Бином, 2008. — ISBN 978-5-94774-815-4.
12. Калиткин, 1978, с. 286.
13. Калиткин, 1978, с. 287.
14. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — 1961.
15. Юрко, 2010, с. 30.

Литература

• Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с. — ISBN 5-02-013751-0.
• Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1977.
• Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма — Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. — М.: Изд-во Московского университета, 2009. — 184 с. — ISBN 978-5-211-05557-5.
• Юрко В. А. Уравнения математической физики. — Саратов, 2010.
• Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. — М.: Физматлит, 2007. — 384 с. — ISBN 978-5-9221-07.
• Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
• Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
• Gesztesy F., Nichols R., Zinchenko M. Sturm–Liouville Operators, Their Spectral Theory, and Some Applications. — Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2024. — 927 с. — ISBN 978-1-4704-7666-3.