Теорема Стеклова

Теорема Стеклова — одна из фундаментальных теорем математической физики и теории рядов Фурье. Одно из важнейших применений теоремы Стеклова в теории дифференциальных уравнений в частных производных состоит в том, что она дает строгое математическое обоснование метода Фурье (разделения переменных) для решения смешанных краевых задач для уравнений гиперболического типа (например, уравнения колебаний струны).[1][2] Доказана в начале XX века русским математиком В. А. Стекловым.

Любая функция ${\displaystyle f\in C^{2}[a,b]}$, удовлетворяющая условиям ${\displaystyle f(a)=f(b)=0}$, разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по ортогональной системе собственных функций ${\displaystyle \{y_{n}(x)\}}$ задачи Штурма—Лиувилля, то есть ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}y_{n}(x),\quad c_{n}={\frac {(f,y_{n})}{(y_{n},y_{n})}},}$ где скалярное произведение ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ и ортогональность системы функций понимаются в смысле гильбертова пространства ${\displaystyle L^{2}[a,b].}$

Литература

• Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. Ч. I—II. — Пг., 1922—1923.
• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Любое издание.
• Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука, 1988.

Примечания

1. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными, гл. II, раздел II.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики, гл. V, параграф 26.