Банахово пространство

Ба́нахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа.

Банаховы пространства названы в честь польского математика Стефана Банаха , который ввёл это понятие и систематически изучал его в 1920–1922 годах вместе с Гансом Ханом и Эдуардом Хелли.  Морис Рене Фреше был первым, кто использовал термин «банахово пространство», а Банах, в свою очередь, затем ввел термин «пространство Фреше». Банаховы пространства первоначально возникли в результате изучения функциональных пространств Гильбертом, Фреше и Риссом в начале века. Банаховы пространства играют центральную роль в функциональном анализе. В других областях анализа изучаемые пространства часто являются банаховыми пространствами.

Примеры

Некоторые примеры банаховых пространств (далее через ${\displaystyle K}$ обозначено одно из полей ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$):

• Евклидовы пространства ${\displaystyle K^{n}}$ с евклидовой нормой, определяемой для ${\displaystyle x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}$ как ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\sum |x_{i}|^{2}}}}$, являются банаховыми пространствами.
• Пространство всех непрерывных функций ${\displaystyle f\colon [a,\;b]\to K}$, определённых на закрытом интервале ${\displaystyle [a,\;b]}$ будет банаховым пространством, если мы определим его норму как ${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in [a,\;b]\}}$. Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как ${\displaystyle C[a,b]}$. Этот пример можно обобщить к пространству ${\displaystyle C(X)}$ всех непрерывных функций ${\displaystyle X\to K}$, где ${\displaystyle X}$ — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций ${\displaystyle X\to K}$, где ${\displaystyle X}$ — любое топологическое пространство, или даже к пространству ${\displaystyle B(X)}$ всех ограниченных функций ${\displaystyle X\to K}$, где ${\displaystyle X}$ — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.
• Если ${\displaystyle p\geqslant 1}$ — вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей ${\displaystyle (x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;\ldots )}$ элементов из ${\displaystyle K}$, таких что ряд ${\displaystyle \sum |x_{i}|^{p}}$ сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени ${\displaystyle p}$ из суммы этого ряда, и обозначается ${\displaystyle l^{p}}$.
• Банахово пространство ${\displaystyle l^{\infty }}$ состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из ${\displaystyle K}$; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.
• Снова, если ${\displaystyle p\geqslant 1}$ — вещественное число, можно рассматривать все функции, интегрируемые по Лебегу (причём степень ${\displaystyle p}$ их модуля также суммируема). Корень степени ${\displaystyle p}$ этого интеграла от ${\displaystyle p}$-й степени модуля функции определим как полунорму ${\displaystyle f}$. Это множество — не банахово пространство, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда полунорма разности ${\displaystyle f-g}$ равна нулю. Множество классов эквивалентности относительно этого отношения уже является банаховым пространством; оно обозначается как ${\displaystyle L^{p}[a,\;b]}$. Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, L^p-пространства.
• Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму ${\displaystyle X\oplus Y}$, которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
• Если ${\displaystyle M}$ — замкнутое подпространство банахова пространства ${\displaystyle X}$, то факторпространство ${\displaystyle X/M}$ снова является банаховым.
• Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
• Если ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ — банаховы пространства над одним полем ${\displaystyle K}$, тогда множество непрерывных ${\displaystyle K}$-линейных отображений ${\displaystyle A\colon V\to W}$ обозначается ${\displaystyle L(V,\;W)}$. Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. ${\displaystyle L(V,\;W)}$ — векторное пространство, и, если норма задана как ${\displaystyle \|A\|=\sup\{\|Ax\|\colon x\in V,\;\|x\|\leqslant 1\}}$, является также и банаховым.
  • Пространство ${\displaystyle L(V)=L(V,\;V)}$ представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.

Типы банаховых пространств

• Гильбертово пространство
• Рефлексивное пространство

Литература

• И. М. Виноградов. Банахово пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.