Dodecaedru snub

Dodecaedru snub
Cele două forme chirale, cw și ccw (animații cw și ccw, și model 3D)
Descriere
Tip	Poliedru arhimedic (poliedru uniform)
Fețe	92 (20+60 triunghiuri, 12 pentagoane)
Laturi (muchii)	150
Vârfuri	60
χ	2
Configurația vârfului	3.3.3.3.5
Simbol Wythoff	| 2 3 5
Simbol Schläfli	sr{5,3} sau ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$ ht0,1,2{5,3}
Simbol Conway	sD
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I, 1/2H3, [5,3]^+, (532), ordin 60
Grup de rotație	I, [5,3]^+, (532), ordin 60
Arie	≈ 55,287 a^2   (a = latura)
Volum	≈ 37,617 a^3   (a = latura)
Unghi diedru	3-3: 164° 10′ 31″ (164,18°) 3-5: 152° 55′ 53″ (152,93°)
Poliedru dual	Hexacontaedru pentagonal
Proprietăți	Poliedru semiregulat, convex, chiral
Figura vârfului
Desfășurată

Duale: Hexacontaedre pentagonale, pe stânga și pe dreapta

În geometrie dodecaedrul snub este un poliedru arhimedic. Are 92 de fețe, din care 20+60 triunghiuri echilaterale și 12 pentagonale, 60 de vârfuri și 150 de laturi.

Este un poliedru chiral, adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe”) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dă compusul de două dodecaedre snub, iar anvelopa convexă al ambelor seturi de vârfuri este un icosidodecaedru trunchiat.

Are indicele de poliedru uniform U₂₉,[1] indicele Coxeter C₃₂ și indicele Wenninger W₁₈.

Johannes Kepler l-a denumit inițial în latină dodecahedron simus în lucrarea sa Harmonices Mundi din 1619. H.S.M. Coxeter a remarcat că ar putea fi derivat din dodecaedru sau icosaedru, și l-a numit „icosidodecaedru snub”, cu simbolul Schläfli extins vertical ${\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$ și simbolul Schläfli sr{5,3}.

Coordonate carteziene

Fie ξ ≈ 0,94315125924 rădăcina reală a polinomului de gradul al treilea x^3 + 2x^2 − φ^2, unde φ este secțiunea de aur. Fie punctul p dat de

${\displaystyle p={\begin{pmatrix}\varphi ^{2}-\varphi ^{2}\xi \\-\varphi ^{3}+\varphi \xi +2\varphi \xi ^{2}\\\xi \end{pmatrix}}}$.

Fie matricile de rotație^⁠(d) M₁ și M₂ date de

${\displaystyle M_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2\varphi }}&-{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}&{\frac {\varphi }{2}}\end{pmatrix}}}$

și

${\displaystyle M_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.}$

M₁ reprezintă rotația în sens trigonometric cu unghiul 2π/5 în jurul axei (0,1,φ), iar M₂ reprezintă rotațiile ciclice cu unghiul 2π/3 în jurul axei (1,1,1) ale coordonatelor (x,y,z). Atunci cele 60 de vârfuri ale dodecaedrului snub sunt cele 60 de imagini ale punctului p în urma înmulțirii repetate cu M₁ și/sau M₂ Coordonatele vârfurilor sunt combinații liniare integrale ale 1, φ, ξ, φξ, ξ^2 și φξ^2. Lungimea laturii este

${\displaystyle 2\xi {\sqrt {1-\xi }}\approx 0,449\,750\,618\,41.}$

Schimbarea semnului tuturor coordonatelor dă imaginea în oglindă a acestui dodecaedru snub.

Raza sferei circumscrise (care trece prin toate vârfurile) este

${\displaystyle {\sqrt {4\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}\approx 0,969\,589\,192\,65.}$

Raza sferei mediane este ξ. Aceasta oferă o interpretare geometrică interesantă a numărului ξ. Cele 20 de triunghiuri icosaedrice ale dodecaedrului snub descris mai sus sunt coplanare cu fețele unui icosaedru regulat. Raza mediană a acestui icosaedru circumscris este egală cu 1. Aceasta înseamnă că ξ este raportul dintre razele mediane ale unui dodecaedru snub și icosaedrul în care este înscris.

Unghiul diedru dintre fețele triunghiulare este

${\displaystyle \theta _{33}=180^{\circ }-\arccos \left({\frac {2}{3}}\xi +{\frac {1}{3}}\right)\approx 164,175\,366\,056\,03^{\circ }.}$

Unghiul diedru dintre fețele triunghi–pentagon este

${\displaystyle \theta _{35}=180^{\circ }-\arccos {\sqrt {\frac {-(4\varphi +8)\xi ^{2}-(4\varphi +8)\xi +12\varphi +19}{15}}}\approx 152,929\,920\,275\,84^{\circ }.}$

Dimensiuni metrice

Pentru un dodecaedru snub a cărui lungime a laturii este 1, aria sa este

${\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55,286\,744\,958\,445\,15.}$

Volumul său este

${\displaystyle V={\frac {(3\varphi +1)\xi ^{2}+(3\varphi +1)\xi -{\frac {\varphi }{6}}-2}{\sqrt {3\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}}\approx 37,616\,649\,962\,733\,36.}$

Raza sferei circumscrise este

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 2,155\,837\,375.}$

Raza sferei mediane este

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2,097\,053\,835\,25.}$

Sunt două sfere înscrise, una care atinge fețele triunghiulare și una, puțin mai mică, care atinge fețele pentagonale. Razele lor sunt, respectiv:

${\displaystyle r_{3}={\frac {\varphi {\sqrt {3}}}{6\xi }}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2,077\,089\,659\,74}$

și

${\displaystyle r_{5}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi ^{2}\xi ^{2}+3\varphi ^{2}\xi +{\frac {11}{5}}\varphi +{\frac {12}{5}}}}\approx 1,980\,915\,947\,28.}$

Dodecaedrul snub are cea mai mare sfericitate dintre toate poliedrele arhimedice. Sfericitatea este definită ca raportul dintre volumul la pătrat și suprafața la puterea a treia, înmulțit cu constanta 36π (unde această constantă face ca sfericitatea unei sfere să fie egală cu 1). Sfericitatea dodecaedrului snub este de aproximativ 0,947.[2]

Proiecții ortogonale

Dodecaedrul snub nu are simetrie față de centru, ca urmare vârful din față nu corespunde unui vârf opus din spate

Dodecaedrul snub are două proiecții ortogonale, centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pentagoane, care corespund cu planele Coxeter A₂ și H₂, și una centrată pe mijlocul laturilor dintre fețele triunghiulare.

Proiecții ortogonale

Centrată pe	Fața triunghi	Fața pentagon	Latură
Corp
Cadru de sârmă
Simetrie proiectivă	[3]	[5]^+	[2]
Dual

Relații geometrice

Dodecaedru, rombicosidodecaedru și dodecaedru snub
(animații cu expandări și răsuciri)

Alternări uniforme ale icosidodecaedrului trunchiat

Dodecaedrul snub poate fi generat luând cele douăsprezece fețe pentagonale ale dodecaedrului, deplasându-le spre exterior. La o distanță potrivită, prin completarea fețelor pătrate care apar între laturile astfel separate și fețele triunghiulare dintre vârfurile astfel separate se obține rombicosidodecaedrul. Dar pentru forma snub, fețele pentagonale trebuie deplasate ceva mai puțin, se adaugă doar fețele triunghiulare și momentan se lasă celelalte goluri (dreptunghiuri) necompletate. Apoi se rotesc pentagoanele și triunghiurile în jurul centrelor lor pînă ce golurile pot fi umplute cu câte două triunghiuri echilaterale.

Dodecaedrul snub poate fi derivat și din icosidodecaedrul trunchiat prin procesul de alternare. 60 de vârfuri ale icosidodecaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu dodecaedrul snub, celelalte 60 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat este tranzitiv pe vârfuri dar nu este uniform.

Poliedre înrudite

Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532)							[5,3]^+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
			Fișier:PentakisDodecahedron.svg
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări snub cu configurațiile vârfului (3.3.3.3.n.) și diagrama Coxeter–Dynkin . Aceste figuri și dualele lor au simetrie de rotație (n32) în notația orbifold, existând în planul euclidian pentru n = 6, iar în planul hiperbolic pentru orice n mai mare. Se poate considera că familia începe cu n = 2, care are fețele degenerate în digoane.

Variante de pavări snub cu simetrie n32: 3.3.3.3.n
Simetrie n32	Sferice				Euclidiană	Hiperbolice compacte		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Imagini snub
Config.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Imagini giro
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Note

1. en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
2. en P. K. Aravind, How Spherical Are the Archimedean Solids and Their Duals?, The College Mathematics Journal, Vol. 42, No. 2 (March 2011), pp. 98–107

Bibliografie

• en Jayatilake, Udaya (martie 2005). „Calculations on face and vertex regular polyhedra”. Mathematical Gazette. 89 (514): 76–81. doi:10.1017/S0025557200176818. 
• en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
• Cromwell, P. (1997). Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• Materiale media legate de dodecaedru snub la Wikimedia Commons
• en Eric W. Weisstein, Snub dodecahedron la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Archimedean solid la MathWorld.
• en Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view
• en The Uniform Polyhedra
• en Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• en Mark S. Adams and Menno T. Kosters. Volume Solutions to the Snub Dodecahedron

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: snid