Dodecaedru pentakis

Dodecaedru pentakis
Fișier:PentakisDodecahedron.svg
(animație și model 3D)
Descriere
Tip	Poliedru Catalan
Fețe	60 triunghiuri isoscele
Laturi (muchii)	90
Vârfuri	32
χ	2
Configurația feței	V5.6.6
Simbol Conway	kD
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Ih, H3, [5,3], (*532)
Grup de rotație	I, [5,3]^+, (532)
Unghi diedru	156° 43′ 07″ = = arccos(−80 + 9√5/109)
Poliedru dual	Icosaedru trunchiat
Proprietăți	Poliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată

Dual: Icosaedru trunchiat

În geometrie un dodecaedru pentakis este un poliedru Catalan cu 60 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul dodecaedrului pentakis este icosaedrul trunchiat. Este tranzitiv pe fețe.

Coordonate carteziene și dimensiuni

Fie ${\displaystyle \varphi }$ secțiunea de aur. Cele 12 puncte date de ${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi )}$ și permutările ciclice ale acestor coordonate sunt vârfurile unui icosaedru regulat. Dualul său, dodecaedrul regulat, ale cărui laturi intersectează pe cele ale icosaedrului în unghi drept, are ca vârfuri punctele ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$ împreună cu punctele ${\displaystyle (\pm \varphi ,\pm 1/\varphi ,0)}$ și permutările ciclice ale acestor coordonate. Înmulțind toate coordonatele acestui icosaedru cu factorul ${\displaystyle (3\varphi +12)/19\approx 0,887\,057\,998\,22}$ se obține un icosaedru ceva mai mic. Cele 12 vârfuri ale acestui icosaedru, împreună cu vârfurile dodecaedrului, sunt vârfurile unui dodecaedru pentakis centrat în origine. Lungimea laturilor sale lungi este de ${\displaystyle 2\varphi }$. Fețele sale sunt triunghiuri isoscele ascuțite cu unghiul apexului de ${\displaystyle \arccos((-8+9\varphi )/18)\approx 68,618\,720\,931\,19^{\circ }}$ și cele două de la bază de ${\displaystyle \arccos((5-\phi )/6)\approx 55,690\,639\,534\,41^{\circ }}$. Raportul lungimilor laturilor lungi și scurte ale acestor triunghiuri este ${\displaystyle (5-\varphi )/3\approx 1,127\,322\,003\,75}$.

Proiecții ortogonale

Dodecaedrul pentakis are trei proiecții ortogonale particulare: una pe mijlocul laturilor și două pe vârfuri.

Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă

Simetrie proiectivă	[2]	[6]	[10]
Imagini
Imagini duale

Un dodecaedru pentakis (stânga) cu piramide inversate (dreapta) are aceeași suprafață

Dodecaedrul pentakis concav

Un dodecaedru pentakis concav are piramide inversate pe fețele pentagonale ale dodecaedrului.

Poliedre înrudite

Dodecaedru pentakis sferic

Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532)							[5,3]^+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
			Fișier:PentakisDodecahedron.svg
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Variante de simetrii *n32 ale pavărilor trunchiate: n.6.6
Sim. *n42 [n,3]	Sferică				Euclid.	Compactă		Paracomp.	Hiperbolică necompactă
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Figuri trunchiate
Config.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
Figuri n-kis
Config.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Bibliografie

• en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
• en Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54325-5. MR 0730208.  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 18, Pentakisdodecahedron)
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Triakis icosahedron)

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Pentakis dodecahedron la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Catalan solid la MathWorld.
• en Pentakis Dodecahedron – Interactive Polyhedron Model