1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ...

In matematica, la serie indeterminata

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!}$

fu considerata per la prima volta da Eulero, che applicò i metodi di sommabilità per assegnare un valore finito a questa serie.[1] La serie è la somma alternata dei fattoriali, cioè che alternativamente sono sommati o sottratti. Un modo di assegnare un valore a questa serie è usando la somma di Borel, con cui si scrive che

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}\,dx}$

Se si scambiano la sommatoria e l'integrale (ignorando che nessuno dei due membri converge), si ottiene:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]e^{-x}\,dx}$

La sommatoria nelle parentesi quadrate converge ed è uguale a ${\displaystyle 1/(1+x)}$ se ${\displaystyle |x|<1}$. Se si prolunga analiticamente ${\displaystyle 1/(1+x)}$ ad ogni ${\displaystyle x}$ reale, si ricava un integrale convergente per la serie:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\\[4pt]&=eE_{1}(1)\approx 0.596\,347\,362\,323\,194\,074\,341\,078\,499\,369\ldots \end{aligned}}}$

dove ${\displaystyle E_{1}(z)}$ è la funzione integrale esponenziale. Questa è per definizione la somma di Borel della serie.

Derivazione

Si consideri il sistema formato da queste due equazioni differenziali

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x(t)-y(t),\qquad {\dot {y}}(t)=-y(t)^{2}}$

dove i punti indicano le derivate rispetto a ${\displaystyle t}$.

La soluzione con equilibrio stabile in ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ con ${\displaystyle t\to \infty }$ è ${\displaystyle y(t)=1/t}$, e sostituendola nella prima equazione si ottiene una soluzione nella forma di serie formale di potenze

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(n-1)!}{t^{n}}}}$

Si osservi che ${\displaystyle x(1)}$ è precisamente la serie dei fattoriali alternati.

D'altra parte, il sistema di equazioni differenziali ha soluzione

${\displaystyle x(t)=e^{t}\int _{t}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du.}$

Attraverso integrazioni per parti successive, la serie di potenze formali diventa uno sviluppo asintotico dell'espressione di ${\displaystyle x(t)}$. Eulero argomentò (più o meno) che uguagliando si ha

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n-1)!=e\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du.}$

Note

1. Leonhard Euler, De seriebus divergentibus [On divergent series], in Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, n. 5, 1760, pp. 205–237, arXiv:1202.1506.

Bibliografia

• Morris Kline, Euler and Infinite Series, in Mathematics Magazine, vol. 56, n. 5, Novembre 1983, pp. 307–313, DOI:10.2307/2690371, JSTOR 2690371.
• V. V. Kozlov, Euler and mathematical methods in mechanics (PDF), in Russian Mathematical Surveys, vol. 62, n. 4, 2007, pp. 639–661, DOI:10.1070/rm2007v062n04abeh004427.
• P. J. Leah e E. J. Barbeau, Euler's 1760 paper on divergent series, in Historia Mathematica, vol. 3, n. 2, Maggio 1976, pp. 141–160, DOI:10.1016/0315-0860(76)90030-6.

Voci correlate

• Serie sommativa unitaria
• Serie di Grandi
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• 1 + 1 + 2 + 3 + ⋯