Grafico di E 1 (sopra) e di Ei (sotto). In matematica , la funzione integrale esponenziale è una funzione speciale complessa caratterizzata tramite l'integrale definito del rapporto tra la funzione esponenziale e il suo argomento.
Definizione
La funzione integrale esponenziale
Ei
(
x
)
{\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)}
Ei
(
x
)
:=
−
∫
−
x
+
∞
e
−
t
t
d
t
=
∫
−
∞
x
e
t
t
d
t
{\displaystyle {\mbox{Ei}}(x):=-\int _{-x}^{+\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t}
Dato che
1
/
t
{\displaystyle 1/t}
t
→
0
{\displaystyle t\to 0}
valore principale di Cauchy :
Ei
(
x
)
=
lim
δ
→
0
[
∫
−
∞
−
δ
e
t
t
d
t
+
∫
δ
x
e
t
t
d
t
]
{\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\lim _{\delta \to 0}\left[\int _{-\infty }^{-\delta }{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t\right]}
L'algoritmo di Risch mostra che non si tratta di una funzione elementare .
Per valori complessi dell'argomento si utilizza la funzione:
E
1
(
z
)
=
∫
z
+
∞
e
−
t
t
d
t
|
A
r
g
(
z
)
|
<
π
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{z}^{+\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi }
che tramite prolungamento analitico può essere estesa a tutto il piano complesso. L'integrale esponenziale è così anche definito come:
E
i
(
−
x
)
=
−
E
1
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x)}
Si ha inoltre che per valori positivi di
R
e
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)}
E
1
(
z
)
=
∫
1
+
∞
e
−
t
z
t
d
t
=
∫
0
1
e
−
z
/
u
u
d
u
R
e
(
z
)
≥
0
{\displaystyle \mathrm {E} _{1}(z)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,du\qquad \mathrm {Re} (z)\geq 0}
L'integrale esponenziale è strettamente collegato alla funzione integrale logaritmica , definibile come:
li
(
x
)
:=
Ei
(
ln
(
x
)
)
{\displaystyle {\mbox{li}}(x):={\mbox{Ei}}(\ln(x))}
per tutti gli
x
{\displaystyle x}
1
{\displaystyle 1}
Sviluppo in serie
Integrando lo sviluppo di Taylor di
e
−
t
/
t
{\displaystyle e^{-t}/t}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
E
i
(
x
)
=
γ
+
ln
|
x
|
+
∑
k
=
1
∞
x
k
k
!
k
x
≠
0
{\displaystyle \mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!k}}\qquad x\neq 0}
dove
γ
{\displaystyle \gamma }
costante di Eulero-Mascheroni . Per argomenti complessi si generalizza con:
E
1
(
z
)
=
−
γ
−
ln
z
−
∑
k
=
1
∞
(
−
z
)
k
k
!
k
|
A
r
g
(
z
)
|
<
π
{\displaystyle \mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!k}}\qquad |\mathrm {Arg} (z)|<\pi }
Il grafico di
E
1
{\displaystyle \mathrm {E_{1}} }
1
2
e
−
x
ln
(
1
+
2
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)}
e
−
x
ln
(
1
+
1
x
)
{\displaystyle e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)}
x
{\displaystyle x}
Tale somma converge per ogni
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
Ramanujan :
E
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
exp
(
x
/
2
)
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
x
n
n
!
2
n
−
1
∑
k
=
0
⌊
(
n
−
1
)
/
2
⌋
1
2
k
+
1
{\displaystyle {\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}
Esiste anche una serie divergente che approssima l'integrale esponenziale, ottenuta integrando
z
e
z
E
1
(
z
)
{\displaystyle ze^{z}\mathrm {E_{1}} (z)}
E
1
(
z
)
=
exp
(
−
z
)
z
∑
n
=
0
N
−
1
n
!
(
−
z
)
n
{\displaystyle \mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}}
che ha un errore dell'ordine di
O
(
N
!
z
−
N
)
{\displaystyle O(N!z^{-N})}
R
e
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)}
Dalle serie precedenti si evince che
E
1
{\displaystyle \mathrm {E_{1}} }
1
2
e
−
x
ln
(
1
+
2
x
)
<
E
1
(
x
)
<
e
−
x
ln
(
1
+
1
x
)
x
>
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<\mathrm {E_{1}} (x)<e^{-x}\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}
come mostrato nel grafico a lato.
Funzione intera
Sia
Ei
(
x
)
{\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)}
E
1
(
x
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)}
funzione intera :
E
i
n
(
x
)
=
∫
0
x
1
−
e
−
t
t
d
t
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
x
k
k
k
!
{\displaystyle {\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}}
Con questa funzione e la funzione logaritmo si possono utilizzare come definizioni le seguenti uguaglianze:
E
1
(
z
)
=
−
γ
−
ln
z
+
E
i
n
(
z
)
|
A
r
g
(
z
)
|
<
π
{\displaystyle \mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad |\mathrm {Arg} (z)|<\pi }
E
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
E
i
n
(
−
x
)
x
>
0
{\displaystyle \mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln x-\mathrm {Ein} (-x)\qquad x>0}
Generalizzazioni
Una generalizzazione della funzione integrale esponenziale è:
E
n
(
x
)
=
∫
1
+
∞
e
−
x
t
t
n
d
t
{\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt}
che può essere scritto come caso particolare della funzione gamma incompleta :
E
n
(
x
)
=
x
n
−
1
Γ
(
1
−
n
,
x
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)}
Bibliografia
(EN Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables(Chapter 5)
(EN Carl M. Bender e Steven A. Orszag , Advanced mathematical methods for scientists and engineers , McGraw–Hill, 1978, ISBN 0-07-004452-X . (EN Asymptotic Expansions of Integrals , Dover, 1986, ISBN 0-486-65082-0 . (EN Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed . Orlando, FL: Academic Press, pp. 566–568, 1985.
(EN Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 423–428, 2003.
(EN Appl. Numer. Math . 34 , 95-98, 2000.
(EN Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 105–106, 2003.
Voci correlate
Altri progetti
Collegamenti esterni
![{\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\lim _{\delta \to 0}\left[\int _{-\infty }^{-\delta }{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165c40934c7e5be39e8f31e1a664e4a92267f0be)
