Metrikus tenzor

Más néven mértéktenzor. A matematikában a metrikus tenzort metrikus tereken értelmezzük, és a távolságok meghatározását teszi lehetővé. A fizikában az általános relativitáselméletben fordul elő, mint a téridő szerkezetét leíró mennyiség. Ezért a metrikus tenzor meghatározza a gravitációs kölcsönhatást is.

Definíciója

Legyen A affin tér a valós V eltolásvektortérrel! Ekkor g metrikus tenzor A fölött, ha A-t a V fölötti skalárszorzatok terébe képezi, azaz minden ${\displaystyle P\in A}$ pontra

${\displaystyle g(P):V\times V\to \mathbb {R} }$

szimmetrikus, pozitív definit bilineáris forma.

A metrika és a pszeudometrika analógiájára néha megengedik, hogy egyes pontokban, vagy mindenütt pozitív szemidefinit legyen. Ezzel pszeudometrikus tenzorokhoz jutnak.

Vagyis a pozitív definitség követelménye:

${\displaystyle g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {x}}\right)>0}$ minden ${\displaystyle 0\neq {\vec {x}}\in V}$-re

helyett megelégszenek a pozitív szemidefinitség követelményével:

${\displaystyle g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {x}}\right)\geq 0}$ minden ${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$-re

A metrikus tenzor egy ${\displaystyle P\in A}$ ponttól függő távolságot definiál a V vektorok terén:

${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{P}={\sqrt {g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {x}}\right)}}}$

Az euklideszi skalárszorzathoz hasonlóan a ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in V}$ vektorok ${\displaystyle \vartheta \in [0,\pi ]}$ szöge a ${\displaystyle P\in A}$ pontban:

${\displaystyle \cos(\vartheta )={\frac {g(P)({\vec {x}},{\vec {y}})}{{\sqrt {g(P)({\vec {x}},{\vec {x}})}}\,{\sqrt {g(P)({\vec {y}},{\vec {y}})}}}}}$

Tulajdonságai

• másodrendű szimmetrikus tenzor
• determinánsa különböző nullától (tehát nem szinguláris)
• kovariáns deriváltja nulla

Az invariáns távolságnégyzet kiszámítása: ${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}\ dx^{a}\ dx^{b}}$

Ábrázolása koordinátákkal

Koordináta-rendszert választva a V vektortérben, és a koordinátavektorokat rendre ${\displaystyle (e_{i})}$-vel jelölve a g metrikus tenzor felírható a ${\displaystyle g_{ij}(P)=g(P)(e_{i},e_{j})}$ alakban. Az Einstein-féle összegzési konvenció szerint ekkor az ${\displaystyle {\vec {x}}=x^{i}{\vec {e}}_{i}}$ és az ${\displaystyle {\vec {y}}=y^{i}{\vec {e}}_{i}}$ vektorokra

${\displaystyle g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {y}}\right)=g_{ij}(P)\,x^{i}\,y^{j}}$.

A kategóriaelmélet fogalmai szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kovariáns, mivel az ${\displaystyle \varphi :(A,V)\to (B,W)}$ injektív affin lineáris leképezések a (B,W) fölötti metrikus tenzorokat természetes módon (A,V) fölötti metrikus tenzorokba viszik:

${\displaystyle (\varphi ^{*}g)(P)({\vec {x}},{\vec {y}})=g{\bigl (}\varphi (P){\bigr )}{\Bigl (}\varphi _{*}({\vec {x}}),\varphi _{*}({\vec {x}}){\Bigr )}}$.

A fizikai alkalmazások szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kontravariáns, mert koordinátái a koordináta-rendszer transzformációjakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a bázis.

Ha a koordináta-rendszer transzformációját a

${\displaystyle x^{k}=A^{k}{}_{i}\;{\tilde {x}}^{i}}$ illetve ${\displaystyle {\tilde {x}}^{i}=(A^{-1})^{i}{}_{k}\;x^{k}}$

képletek írják le, akkor a bázisvektorok így transzformálódnak:

${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}=A^{k}{}_{i}\;e_{k}=(A^{T})_{i}{}^{k}\;e_{k}}$

és a metrikus tenzor transzformációja:

${\displaystyle {\tilde {g}}_{ij}=g({\tilde {e}}_{i},\,{\tilde {e}}_{j})=(A^{T})_{i}{}^{k}\,(A^{T})_{j}{}^{l}\;g_{k,l}.}$

Görbék hossza

Ha ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to A}$ differenciálható görbe az A affin térben, akkor minden t pontban van érintője:

${\displaystyle {\vec {x}}(t)={\dot {\gamma }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\gamma (t)}$.

A görbe, vagy görbeszegmens hossza a metrikus tenzorral számítható:

${\displaystyle L_{[a,b]}(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g{\bigl (}\gamma (t){\bigr )}{\Bigl (}\,{\vec {x}}(t),\,{\vec {x}}(t)\,{\Bigr )}}}\,\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{\gamma (t)}\,\mathrm {d} t}$

A ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$ kifejezést ívelemnégyzetnek nevezzük.

A láncszabály szerint

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{ij}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t^{2}}$,

ahol ds a fenti, ívhossz kiszámítását célzó integrált jelenti.

Indukált metrikus tenzor

Legyen A Riemann-sokaság, adva legyen benne a ${\displaystyle (g_{ij})}$ metrika, és adva legyen egy részsokaság a ${\displaystyle q^{i}=q^{i}(t^{1},t^{2},...,t^{p})}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$) paraméterekkel! Tekintsük ebben a részsokaságban a

${\displaystyle t^{\alpha }=t^{\alpha }(t),\quad (a\leq t\leq b),\ (\alpha =1,\dots ,p)}$ görbét!

Ekkor e görbe ívhossza:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\frac {\mathrm {d} q^{i}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} q^{j}}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\frac {\partial q^{i}}{\partial t^{\alpha }}}{\frac {\mathrm {d} t^{\alpha }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial q^{j}}{\partial t^{\beta }}}{\frac {\mathrm {d} t^{\beta }}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\frac {\partial q^{i}}{\partial t^{\alpha }}}{\frac {\partial q^{j}}{\partial t^{\beta }}}{\frac {\mathrm {d} t^{\alpha }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t^{\beta }}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t}$

ahol

${\displaystyle a_{\alpha \beta }:=g_{ij}{\frac {\partial q^{i}}{\partial t^{\alpha }}}{\frac {\partial q^{j}}{\partial t^{\beta }}}}$ indukált mértéktenzor.

Ezzel számolva az ívhossz:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {a_{\alpha \beta }{\frac {\mathrm {d} t^{\alpha }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t^{\beta }}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t}$.

Példák

- a gömbfelszín metrikus tenzora:

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}&0\\0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

- a Minkowski-téridő metrikus tenzora:

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

- a gömbszimmetrikus (Schwarzschild) téridő metrikus tenzora, ahol ${\displaystyle r_{s}}$ a Schwarzschild-sugár:

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}1-{\frac {r_{s}}{r}}&0&0&0\\0&-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

Irodalomjegyzék

• Hraskó Péter: Relativitáselmélet, Typotex Kiadó 2002, ISBN 963-9326-30-5, hibajegyzék
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet, Akadémiai Kiadó 2006, ISBN 9630584239
• Novobátzky Károly: A relativitás elmélete, Tankönyvkiadó 1963
• Landau - Lifsic: Elméleti Fizika II. Tankönyvkiadó 1976
• Fließbach, Torsten: Allgemeine Relativitätstheorie, Elsevier GmbH kiadó München 2006, ISBN 978-3-8274-1685-8
• Oloff, Rainer: Geometrie der Raumzeit, Friedr. Vieweg & Sohn kiadó Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0468-6

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Metrischer Tensor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.