Ívhossz

Az ívhossz egy differenciálható görbe szakaszának a hossza. Az ívhossz kiszámítása sok szempontból hasznos lehet, hiszen egy görbe sok mindent reprezentálhat (bejárt út, munka stb.). Jelölése: ${\displaystyle S\,}$.

Kiszámítása

Az ívhossz a görbe parametrikus egyenletéből relatíve egyszerűen megadható, mégpedig a meredekség vektorok hosszainak összegéből, azaz:

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}\vert {\vec {F}}'(t)\vert \;\mathrm {d} t}$,

ahol ${\displaystyle t\,}$ független paraméter. Descartes-koordináta-rendszerben a képlet így néz ki:

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\;dx}$

Ez a képlet a következő Riemann-összegből számítható (ezzel az összeggel reprezentálva az ívhosszt):

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {1+f'(x_{i})^{2}}}\;\Delta x}$

A fenti szummában a kifejezés a közelítő hossza egy húrnak a ${\displaystyle \Delta x\,}$ távolságon. Ahogy ${\displaystyle \Delta x\,}$ tart nullához, úgy közelíti az összeg az ívhosszt.

Az ívhossz polárkoordinátákban is meghatározható a fenti általános, vektoros képletből:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {r(\theta )^{2}+(r'(\theta ))^{2}}}\;d\theta }$

Ívhossz szerinti paraméterezés

Egy görbe paraméterezései között kitüntetett szerep jut az úthossz szerinti paraméterezésnek. Sok képlet egyszerűbbé válik, ha ezt a paraméterezést használjuk.

Legyen a ${\displaystyle \Gamma }$ görbe ezzel a paraméterezéssel megadva:

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma :&[a,b]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&r&\mapsto &\gamma (r)\end{matrix}}}$

és ${\displaystyle \Gamma (t)}$ minden ${\displaystyle t\in [a,b]}$-re. Ekkor a ${\displaystyle \gamma |[a,t]}$ paraméterezésű részgörbére

${\displaystyle {\begin{matrix}s:&[a,b]&\to &\mathbb {R} \\&t&\mapsto &L\left(\Gamma _{t}\right)\end{matrix}}}$

a ${\displaystyle \Gamma }$ görbe úthosszfüggvénye. Ez az s(t) folytonos és monoton növő függvény, mivel a görbe nem szakadásos. Ha szigorúan monoton növő, akkor invertálható is, az inverz függvény ${\displaystyle t(s)}$. Ekkor ${\displaystyle \Gamma }$ ívhossz szerinti paraméterezése:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {\gamma }}:&[0,L(\gamma )]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&s&\mapsto &\gamma (t(s))\end{matrix}}}$

Ha ${\displaystyle \Gamma }$ folytonosan differenciálható, és ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(r)\neq 0}$ minden ${\displaystyle r\in [a,b]}$-ra, akkor ${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$ is folytonosan differenciálható, és minden ${\displaystyle s\in [0,L(\Gamma )]}$-re:

${\displaystyle \left\|{\frac {\mathrm {d} {\hat {\gamma }}(s)}{\mathrm {d} s}}\right\|=1}$.

Források

• Planet Math: Arc length Archiválva 2009. február 14-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Wolfgang Ebeling, Institut für Algebraische Geometrie, Universität Hannover: Vorlesungsskript Analysis II. [1] Archiválva 2008. január 1-i dátummal a Wayback Machine-ben