Schwarzschild-metrika

Albert Einstein általános relativitáselméletének a Schwarzschild-megoldás (vagy Schwarzschild-metrika) volt az első egzakt megoldása, amely leírja egy statikus gömbszimmetrikus objektum gravitációs terét a gravitáló test felszínén kívül. A megoldás során feltételezte, hogy az objektum elektromágnesesen semleges, és a kozmológiai állandó zérus. Az elméleti asztrofizikában széles körben használt lassan forgó objektumok gravitációs terének modellezésére.

Történet

A Schwarzschild megoldást Karl Schwarzschild tiszteletére nevezzük Schwarzschild-metrikának, mert ő volt aki először talált egzakt megoldást az Einstein által 1916-ban publikált általános relativitáselméletben.[1]

Schwarzschild az eredeti megoldásban[2] más R koordinátát használt ${\displaystyle R=(r^{3}+{\alpha }^{3})^{1/3}}$.[3] A metrika jelenlegi formája David Hilberttől származik.[4]

A Schwarzschild-metrika

Bővebben: A Schwarzschild-megoldás levezetése

Schwarzschild koordinátákban, a Schwarzschild-metrika alakja:

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)}$

ahol:

• τ a saját idő
• c a fénysebesség
• t az idő koordináta
• r a radiális koordináta
• θ és φ a két szögkoordináta
• r_s a Schwarzschild-sugár ami a tömeggel M kifejezve r_s = 2GM/c^2, ahol G a gravitációs állandó.[5]

Ez a megoldás határesetben megegyezik a newtoni fizika egy tömegpont gravitációs terét leíró megoldásával.[6]

A Schwarzschild-metrika izotrop koordinátázása

A metrikát felírhatjuk az Eddington-féle izotrop koordinátákban (r ≥ 2GM/c^2).[7][8]

Az

${\displaystyle r=r_{1}{\left(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}}\right)}^{2}\,}$

radiális koordináta helyett az r₁-et használva

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}={\frac {(1-{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}{(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}}\,c^{2}{dt}^{2}-\left(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}\left(dr_{1}^{2}+r_{1}^{2}d\theta ^{2}+r_{1}^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\,.}$

ahol az x, y, z izotróp koordináták

${\displaystyle x=r_{1}\,\sin \theta \,\cos \phi \,,\quad y=r_{1}\,\sin \theta \,\sin \phi \,,\quad z=r_{1}\,\cos \theta \,,}$

és

${\displaystyle r_{1}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,,}$

így a metrika

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}={\frac {(1-{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}{(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}}\,c^{2}{dt}^{2}-\left(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})\,.}$[7]

Feketelyuk-megoldások

Az ún. nevezett feketelyuk-megoldások rendelkezhetnek perdülettel, vagy nem (nem forgó, tehát gömbszimmetrikus megoldás). Lehetnek elektromosan töltöttek, vagy töltés nélküliek. Ezt a négy lehetőséget (2x2) szemlélteti az alábbi táblázat. A forgásmentes töltetlen tömeg(pont) gravitációs terét írja le a Schwarzschild megoldás. A forgásmentes, de elektromosan töltött test külső terét írja le a Reissner–Nordström-metrika, melyet Hans Reissner és Gunnar Nordström talált meg 1918-ban. A forgó töltetlen test terét írja le a Kerr-metrika, melyet 1963-ban Roy Kerr publikált.[9] Végül a forgó elektromosan töltött test külső terét a Newman által talált metrika írja le, melyet Kerr–Newman-metrikának nevezünk.

	Nem forgó (J = 0)	Forgó (J ≠ 0)
Töltés nélküli (Q = 0)	Schwarzschild	Kerr-metrika
Elektromosan töltött (Q ≠ 0)	Reissner–Nordström-metrika	Kerr–Newman-metrika

A metrika más alakjai

• Lemaitre koordináták
• Eddington–Finkelstein koordináták
• Kruskal–Szekeres koordináták
• Novikov koordináták
• Gullstrand–Painlevé koordináták

Jegyzetek

1. http://www.wbabin.net/eeuro/vankov.pdf Archiválva 2011. július 24-i dátummal a Wayback Machine-ben – Einstein eredeti cikke és angol fordítása, valamint Schwarzschild levele Einsteinhez.
2. http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/schwarzschild.pdf – On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory by K. Schwarzschild – arXiv:physics/9905030 v1 (text of the original paper, in Wikisource)
3. http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/index.html – The Black Hole, the Big Bang, and Modern Physics
4. http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/hilbert.pdf – DAVID HILBERT AND THE ORIGIN OF THE “SCHWARZSCHILD SOLUTION” – arXiv:physics/0310104 v1
5. Landau 1975.
6. Ehlers, J. (1997). „Examples of Newtonian limits of relativistic spacetimes”. Classical and Quantum Gravity 14, A119–A126. o. DOI:10.1088/0264-9381/14/1A/010. 
7. A. S. Eddington, "The Mathematical Theory of Relativity", 2nd edition 1924 (Cambridge University press), at sec. 43, p.93.
8. H. A. Buchdahl, "Isotropic coordinates and Schwarzschild metric", International Journal of Theoretical Physics, Vol.24 (1985) pp. 731–739.
9. Kerr, Roy P. (1963). "Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics". Physical Review Letters 11 (5): 237–238. Bibcode:1963PhRvL..11..237K. doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.

Irodalom

• Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 189–196.
  • az eredeti cikk szkennelve
  • az eredeti cikk a Wikisource-on
  • Antoci és Loinger angol fordítása
  • commentárok
• Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 424-?.
• Flamm, L (1916). „Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie”. Physikalische Zeitschrift 17, 448–?. o. 
• Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, Introduction to General Relativity (Second Edition), (1975) McGraw-Hill New York; ISBN 0-07-000423-4. 6. fejezet.
• Lev Davidovich Landau and Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Fourth Revised English Edition, Course of Theoretical Physics, Volume 2, (1951) Pergamon Press, Oxford; ISBN 0-08-025072-6. 12. fejezet.
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. 31-32. fejezet.
• Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, (1972) John Wiley & Sons, New York; ISBN 0-471-92567-5. 8. fejezet.