Láncszabály

A láncszabály egy eljárás összetett függvények deriválására a matematikában.

Ha például f és g is egy-egy függvény, akkor a láncszabály szerint az ${\displaystyle f\circ g}$ összetett függvény deriváltja kifejezhető f és g deriváltjaival.

Integráláskor a láncszabály megfelelője a helyettesítéses integrálás.

Történet

Írásos jegyzetek alapján úgy tűnik, hogy Gottfried Wilhelm Leibniz használta először a láncszabályt.

A ${\displaystyle {\sqrt {a+bz+cz^{2}}}}$ deriváltját számolta ki, mint a gyökvonás, és a ${\displaystyle a+bz+cz^{2}}$ kifejezés deriváltjait. Azonban nem emelte ki, hogy ez egy külön megnevezhető szabály lenne, és ez így is maradt sokáig.

Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital, francia matematikus, szintén alkalmazta ezt a szabályt, megemlíti ‘Analyse des infiniment petits’ című publikációjában.

A láncszabályt nem említi Leonhard Euler sem az analíziskönyvében, pedig az már 100 évvel Leibniz felfedezése után készült.

Először Joseph Louis Lagrange említi nevén a láncszabályt, 1797-ben íródott művében, a Théorie des fonctions analytiques-ban.[1]

Példa

Tegyük fel, hogy egy ejtőernyős kiugrik egy repülőből. Tételezzük fel, hogy az ugrás után t idővel a tengerszint feletti magassága méterben: ${\displaystyle g(t)=4000-4,9t^{2}}$. A légnyomás h magasságban: ${\displaystyle f(h)=10,1325e^{-0,0001h}}$. A két fenti egyenletet különböző módon lehet differenciálni:

• t időben az ugró sebessége: ${\displaystyle g'(t)=-9,8t}$
• h magasságban a nyomás változása: ${\displaystyle f'(h)=-10,1325e^{-0,0001h}}$, és ez arányos a felhajtóerővel h magasságban (a valódi felhajtóerő függ az ugró térfogatától).
• Az ugrás után t időben az atmoszferikus nyomás ${\displaystyle (f\circ g)(t)}$
• t idő után, az atmoszferikus nyomás változása: ${\displaystyle (f\circ g)'(t)}$ és ez arányos a t idő utáni felhajtóerővel.

A láncszabály lehetőséget ad kiszámolni ${\displaystyle (f\circ g)'(t)}$-t, f és g kifejezésekkel. Bár mindig van lehetőség az összetett függvény deriváltjának a kiszámítására, azonban ez általában nehéz feladat. A láncszabály lehetővé teszi, hogy a bonyolult deriváltat egyszerű módon is megkaphassuk. A láncszabály szerint:

${\displaystyle (f\circ g)'(t)=f'(g(t))g'(t).}$

Ebben a példában, ez egyenlő:

${\displaystyle (f\circ g)'(t)={\big (}{\mathord {-}}10,1325e^{-0,0001(4000-4.9t^{2})}{\big )}\cdot {\big (}{\mathord {-}}9,8t{\big )}.}$

A láncszabály szerint az f és g kissé különböző szerepet játszik, mert f′-t g(t)-nél számoljuk, míg g′-t a t-nél. Ez szükséges, hogy korrekt eredmény jöjjön ki. Például, tegyük fel, hogy az ugrás után 10 másodperccel szeretnénk kiszámolni az atmoszferikus nyomás változási sebességét. Ez (f ∘ g)′(10), Pascal/sec-ban. A láncszabályban g′(10) tényező, az ejtőernyős sebessége 10 másodperccel az ugrás után, méter/sec-ben kifejezve. A nyomás változása f′(g(10)) , a g(10) magasságban, Pascal/m-ben. f′(g(10)) és g′(10) szorzata Pascal/sec-ben a helyes érték. f nem számítható ki másképpen. Például azért, mert a 10, tíz másodpercet jelent, az f′(10) pedig a nyomás változását 10 másodperc magasságban, ami nonszensz. Hasonlóan, mivel g′(10) = –98 méter/sec, az f′(g′(10)) mutatja a nyomás változást -98 m/sec magasságban, ami szintén nonszensz. Azonban g(10)= 3020 méter a tengerszint felett, ami az ugró magassága az ugrás után 10 másodperccel. Ez a korrekt egység az f-részére.

A láncszabály állítása

A láncszabály legegyszerűbb formája egy valós változót tartalmazó valós függvény esete. Ekkor, ha g egy függvény, mely differenciálható c pontnál (vagyis a g′(c) létezik), és f egy függvény, mely differenciálható g′(c)-nél, akkor az f ∘ g összetett függvény differenciálható c-nél, és a deriváltja:[2]

${\displaystyle (f\circ g)'(c)=f'(g(c))\cdot g'(c).}$

a szabályt sokszor így rövidítik:

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.\,}$

Ha y = f(u),és u = g(x), akkor ez a szabály rövidített formája Leibniz-féle jelöléssel:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Azok a pontok, ahol a derivált képződik, explicit módon:

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=c}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(c)}\cdot \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=c}.\,}$

Több mint két függvény esete

A láncszabály alkalmazható kettőnél több függvény esetében is. Több függvény deriválása esetén, az f, g, és h összetett függvények esetén, ez megfelel a f g ∘ h-vel. A láncszabály azt mondja, hogy a f ∘ g ∘ h deriváltjának kiszámításához elegendő az f, és a g ∘ h deriváltjainak kiszámítása. Az f deriválása közvetlenül történhet, és a g ∘ h deriválása a láncszabály szerint végezhető el. Egy gyakorlati esetben:

${\displaystyle y=e^{\sin {x^{2}}}.}$

Ez lebontható három részre:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(u)=e^{u},\\u&=g(v)=\sin v,\\v&=h(x)=x^{2}.\end{aligned}}}$

Ezek deriváltjai:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u},\\{\frac {du}{dv}}&=g'(v)=\cos v,\\{\frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x.\end{aligned}}}$

A láncszabály azt mondja, hogy x = a ponton az összetett függvény deriváltja:

${\displaystyle (f\circ g\circ h)'(a)=f'((g\circ h)(a))(g\circ h)'(a)=f'((g\circ h)(a))g'(h(a))h'(a).}$

Leibniz-féle jelöléssel:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(h(a))}\cdot \left.{\frac {du}{dv}}\right|_{v=h(a)}\cdot \left.{\frac {dv}{dx}}\right|_{x=a},}$

vagy m röviden:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}.}$

A derivált függvény ezért:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{\sin {x^{2}}}\cdot \cos {x^{2}}\cdot 2x.}$

Egy másik útja a számításnak, tekintsük a f ∘ g ∘ h összetett függvényt, mint a f ∘ g és h összetevőit. Most alkalmazva a láncszabályt:

${\displaystyle (f\circ g\circ h)'(a)=(f\circ g)'(h(a))h'(a)=f'(g(h(a))g'(h(a))h'(a).}$

Ez ugyanaz, mint amit fentebb kaptunk. Ez azért van így, mert (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h).

Irodalom

• Hernandez Rodriguez and Lopez Fernandez: A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule. (hely nélkül): The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN 1551-3440, Vol. 7, nos.2&3. 2007. 321–332. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• Integrálás behelyettesítéssel
• Leibniz-féle jelölés
• Hányadosszabály
• Derivált
• http://mathworld.wolfram.com/ChainRule.html

Jegyzetek

1. Hernandez Rodriguez and Lopez Fernandez, A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule, The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN 1551-3440, Vol. 7, nos.2&3, pp.321–332.
2. Apostol, Tom. Mathematical analysis, 2nd ed., Addison Wesley, Theorem 5.5. o. (1974)