Leibniz-féle jelölés

A matematikában a Leibniz-féle jelölés a dx és dy szimbólumokat jelenti, melyek az x és y infinitezimális, azaz minden határon túl a zérushoz tartó kis változásait jelenti.[1] Ezt a jelölést a 17. században élt Gottfried Wilhelm Leibniz német filozófusról és matematikusról nevezték el.

${\displaystyle y=f(x)\,,}$ x szerinti deriváltja Leibniz után:

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}},}$

azaz, y infinitezimális növekménye és az x infinitezimális növekményének a hányadosa, vagy

${\displaystyle y=f(x)\,,}$

ahol a jobb oldal a Lagrange-féle jelöléssel az f(x) deriváltja x szerint. A modern infinitezimális elmélet szempontjából a ${\displaystyle \Delta x}$ az infinitezimális x-növekmény, ${\displaystyle \Delta y}$ pedig ennek megfelelően az y növekménye, és a derivált az infinitezimális arány standard része:

${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}}$.

Majd ha ${\displaystyle dx=\Delta x}$, ${\displaystyle dy=f'(x)dx\,}$, így definíció szerint az ${\displaystyle f'(x)\,}$ a dy és dx aránya. Hasonlóképpen, matematikusok gyakran így tekintenek egy integrált

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

mint egy határértéket

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,}$

ahol Δx egy intervallum, mely x_i-t tartalmazza. Leibniz ezt úgy tekintette, mint (az integrál jel utal a szummázásra) végtelen sok infinitezimális f(x) dx mennyiség szummájára. A modern megfogalmazás szerint korrektebb ezt az integrált úgy tekinteni, mint az ilyen mennyiségek végtelen szummájának a standard részét.

Történet

Az infinitezimális számítás Newton–Leibniz-féle megközelítését a 17. században vezették be. Míg Newtonnak nem volt standard jelölése az integrálásra, Leibniz az ${\displaystyle \int }$ szimbólumot kezdte használni. Ennek a karakternek az elnevezését a latin summa (összegzés) szóra alapozta, melyet a Németországban általánosan használt nyújtott s betűvel ſumma alakban írt. A szimbólumot először az Acta Eruditorum 1686-os kiadásában használták nyilvánosan, de Leibniz már legalább 1675 óta alkalmazta azt magánjegyzeteiben.[2][3] A 19. században néhány matematikus logikailag hibásnak vélte Leibniz koncepcióját (Cauchy, Weierstrass és mások), miközben a Leibniz-féle jelölést továbbra is használták. 1960-ban Edwin Hewitt, Jerzy Łoś, és Abraham Robinson kidolgozott egy szigorú matematikai magyarázatot Leibniz eredeti jelölésére, mely a nemstandard analízisen alapul.

Leibniz-féle jelölés differenciálásra

A Leibniz-féle jelölés differenciálásra, az f(x) függvényre:

${\displaystyle {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}\,.}$

Ha van egy változónk, mely egy függvényt jellemez, legyen például

${\displaystyle y=f(x)\,,}$

akkor a deriváltja:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,.}$

A Lagrange-féle jelöléssel:

${\displaystyle {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}=f'(x)\,.}$

A Newton-féle jelöléssel:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}\,.}$

Magasabb fokú deriváltakra:

${\displaystyle {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}}{\text{ vagy }}{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$

Ez abból a tényből következik, hogy például, a harmadik derivált:

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {d\left(f(x)\right)}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,}$

melyet így is írhatunk:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)^{3}{\bigl (}f(x){\bigr )}={\frac {d^{3}}{\left(dx\right)^{3}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,.}$

Elhagyva a zárójeleket:

${\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\ {\mbox{or}}\ {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,.}$

A láncszabályt és a részenkénti integrálást könnyű itt kifejezni, mert a "d" kifejezés „eltűnik”:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}\,,}$

stb…., és:

${\displaystyle \int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du.}$

Irodalom

• Baron, Margaret E.: The origins of the infinitesimal calculus. Dover Publications, Inc., New York, 1987.
• Baron, Margaret E.: The origins of the infinitesimal calculus. Pergamon Press, Oxford-Edinburgh-New York 1969. (A new edition of Baron's book appeared in 2004)
• Lavendhomme, R.: Basic concepts of synthetic differential geometry, Kluwer, Dordrecht, 1996
• O'Connor, Michael: An Introduction to Smooth Infinitesimal Analysis
• Stewart, James: Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2007. ISBN 0-495-01166-5  
• J. M. Child: Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. (hely nélkül): Open Court Publishing Co. 1920.  

Jegyzetek

1. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th, Brooks/Cole (2008). ISBN 0-495-01166-5 
2. Mathematics and its History, John Stillwell, Springer 1989, p. 110
3. Early Mathematical Manuscripts of Leibniz, J. M. Child, Open Court Publishing Co., 1920, pp. 73–74, 80.

Kapcsolódó szócikkek

• Riemann-integrál
• Binomiális tétel
• Parciális derivált