En mathématiques , la racine carrée de cinq √5 ou 51/2 , est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236.
C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).
Le nombre 5 ayant exactement deux racines carrées réelles, √5 et -√5 , √5 devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », ou « racine carrée principale de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole √ , est « radical de cinq», mais elle est peu courante.
√5 se note également 51/2 (notation Unicode : 5½ ).√5 s'écrit en général sqrt(5) dans les langages informatiques, pour le terme anglais "square root".
√5 vaut approximativement
Le développement en fraction continue simple de √5 est [2, 4 ] (suite A040002 de l'OEIS ).
Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), ce développement est périodique. La période est de longueur 1.
Les réduites successives sont :
2
1
,
9
4
,
38
17
,
161
72
,
682
305
,
2889
1292
…
{\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}}\ldots }
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
u
0
=
2
,
u
n
+
1
=
2
u
n
+
5
u
n
+
2
{\displaystyle u_{0}=2,u_{n+1}={\frac {2u_{n}+5}{u_{n}+2}}}
On a :
u
n
=
5
(
2
+
5
)
n
+
1
+
(
2
−
5
)
n
+
1
(
2
+
5
)
n
+
1
−
(
2
−
5
)
n
+
1
=
⌊
(
2
+
5
)
n
+
1
⌉
⌊
(
2
+
5
)
n
+
1
5
⌉
{\displaystyle u_{n}={\sqrt {5}}{\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}+(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}{(2+{\sqrt {5}})^{n+1}-(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}}={\frac {\left\lfloor (2+{\sqrt {5}})^{n+1}\right\rceil }{\left\lfloor {\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }}}
⌊
x
⌉
{\displaystyle \left\lfloor x\right\rceil }
entier le plus proche de
x
{\displaystyle x}
Les numérateurs forment la suite A001077 de l'OEIS et les dénominateurs la suite A001076 de l'OEIS .
La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.
Prenons la partie entière de √5 , x 0 = 2
La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant √A par la formule de récurrence :
x
n
+
1
=
x
n
+
A
x
n
2
.
{\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {A}{x_{n}}}}{2}}.}
avec ici, A = 5
x
1
=
2
+
5
2
2
=
9
4
=
u
1
=
2
,
25
{\displaystyle x_{1}={\frac {2+{\tfrac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}=u_{1}=2,25}
x
2
=
9
4
+
5
4
9
2
=
u
3
=
161
72
≈
2
,
236
1
{\displaystyle x_{2}={\frac {{\tfrac {9}{4}}+5{\tfrac {4}{9}}}{2}}=u_{3}={\frac {161}{72}}\approx 2,236\,1}
x
3
=
161
72
+
5
72
161
2
=
51841
23184
=
u
7
≈
2
,
236
067
977
9.
{\displaystyle x_{3}={\frac {{\tfrac {161}{72}}+5{\tfrac {72}{161}}}{2}}={\frac {51841}{23184}}=u_{7}\approx 2,236\,067\,977\,9.}
On a .
Les numérateurs forment la suite A081459 de l'OEIS , et les dénominateurs la suite A081460 de l'OEIS .
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
sous-suite de
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
x
n
=
u
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle x_{n}=u_{(2^{n}-1)}}
√5 (convergence quadratique ). Une suite croissante associée est
(
5
/
x
n
)
{\displaystyle (5/x_{n})}
5
/
x
n
<
5
<
x
n
{\displaystyle 5/x_{n}<{\sqrt {5}}<x_{n}}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
5
≈
2
,
236
067
98
{\displaystyle {\sqrt {5}}\approx 2,236\,067\,98}
Par la suite de Fibonacci
La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős , relie √5 aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2[ 1]
∑
k
=
0
∞
1
F
2
k
=
7
−
5
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}}}
Cela donne la formule :
5
=
7
−
2
(
∑
k
=
0
∞
1
F
2
k
)
{\displaystyle {\sqrt {5}}=7-2\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}\right)}
e donne les 13 suivantes[ a] , [ b]
La racine carrée de 5 entre dans l'expression du nombre d'or
φ
=
1
+
5
2
.
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}
On trouve donc
5
=
2
φ
−
1
e
t
5
=
φ
+
1
φ
.
{\displaystyle {\sqrt {5}}=2\varphi -1\quad {\rm {et}}\quad {\sqrt {5}}=\varphi +{\frac {1}{\varphi }}.}
La racine carrée de 5, comme celle de tout entier naturel qui n'est pas un carré parfait , est irrationelle.
En utilisant la série génératrice des coefficients binomiaux centraux , on a :
5
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
n
)
5
n
{\displaystyle {\sqrt {5}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{5^{n}}}}
1
+
5
=
2
φ
=
2
1
+
1
+
1
+
⋯
{\displaystyle 1+{\sqrt {5}}=2\varphi =2{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}
Radical_imbriqué#Racine_carrée ,
5
=
5
5
5
…
3
3
3
{\displaystyle {\sqrt {5}}={\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5\dots }}}}}}}
1
3
+
1
3
2
+
1
3
3
+
⋯
=
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}}
Comme √2 √3 constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :
sin
π
10
=
sin
18
∘
=
cos
2
π
5
=
cos
72
∘
=
1
4
(
−
1
+
5
)
,
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}\right),}
sin
π
5
=
sin
36
∘
=
cos
3
π
10
=
cos
54
∘
=
1
4
2
(
5
−
5
)
,
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }=\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},}
sin
3
π
10
=
sin
54
∘
=
cos
π
5
=
cos
36
∘
=
1
4
(
1
+
5
)
,
{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}}),}
sin
2
π
5
=
sin
72
∘
=
cos
π
10
=
cos
18
∘
=
1
4
2
(
5
+
5
)
,
{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}},}
tan
π
5
=
tan
36
∘
=
5
−
2
5
.
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}.}
La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :
1
∣
∣
1
+
e
−
2
π
∣
∣
1
+
e
−
4
π
∣
∣
1
+
e
−
6
π
∣
∣
1
+
⋯
=
(
5
+
5
2
−
5
+
1
2
)
e
2
π
/
5
=
e
2
π
/
5
(
φ
5
−
φ
)
.
{\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi }\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right){\rm {e}}^{2\pi /5}={\rm {e}}^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}
1
∣
∣
1
+
e
−
2
π
5
∣
∣
1
+
e
−
4
π
5
∣
∣
1
+
e
−
6
π
5
∣
∣
1
+
⋯
=
(
5
1
+
[
5
3
/
4
(
φ
−
1
)
5
/
2
−
1
]
1
/
5
−
φ
)
e
2
π
/
5
.
{\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right){\rm {e}}^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}
4
∫
0
∞
x
e
−
x
5
cosh
x
d
x
=
1
∣
∣
1
+
1
2
∣
∣
1
+
1
2
∣
∣
1
+
2
2
∣
∣
1
+
2
2
∣
∣
1
+
3
2
∣
∣
1
+
3
2
∣
∣
1
+
⋯
.
{\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {x{\rm {e}}^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,{\rm {d}}x={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+\cdots .}
Articles connexes
Notes
↑ La vitesse de convergence vient de ce que le terme général de la série décroit comme l'inverse d'une fonction exponentielle double .
↑ Dans la pratique, cette méthode présente cependant l'inconvénient de devoir manipuler de grands entiers.
↑ (en) Catalin Badea , « A theorem on irrationality of infinite series and applications », Acta Arithmetica vol. 63, 1993 , p. 313-323 (lire en ligne ) 
![{\displaystyle {\sqrt {5}}={\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5\dots }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675eecfc8d487c33e70b197d7a986ec6aa0bdeff)
![{\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right){\rm {e}}^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871f0810f31c54142605c3cc35a1ff58a88f8d53)
