Coefficient binomial central

Les coefficients binomiaux centraux comme colonne médiane du triangle de Pascal

En mathématiques le coefficient binomial central d'ordre n est le coefficient binomial défini par :

${\displaystyle \operatorname {CBC} (n)={\dbinom {2n}{n}}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {n+k}{k}}{\text{ pour tout }}n\geqslant 0.}$

Il est ainsi nommé pour la position centrale qu'il occupe dans la liste des ${\displaystyle {\dbinom {2n}{k}}}$ pour ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant 2n}$ (ligne d'indice ${\displaystyle 2n}$ du triangle de Pascal) ; l'identité de Vandermonde : ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}}$montre qu'il s'obtient par la somme des carrés des termes de la ligne d'indice ${\displaystyle n}$ de ce triangle.

Pour les premières valeurs de n, celles du coefficient binomial central associé sont : 1, 2, 6, 20, 70, 252. La liste de toutes les valeurs constitue la suite A000984 de l'OEIS.

Propriétés liées à la divisibilité

Autour de la parité

Sauf pour le premier d'entre eux, ${\displaystyle {\binom {0}{0}}=1}$, tout coefficient binomial central est un entier pair.

Plusieurs preuves élémentaires existent[1]. La plus simple, utilisant la « formule du pion » (${\displaystyle {\dbinom {m}{n}}={\frac {m}{n}}{\dbinom {m-1}{n-1}}}$), montre que ce coefficient est le double d'un entier « voisin » dans le triangle de Pascal :

${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}=2{\dbinom {2n-1}{n-1}}}$.

Un diviseur élémentaire

Le coefficient binomial central d'ordre n est divisible par n + 1, ce qui revient à dire que le nombre de Catalan ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\dbinom {2n}{n}}}$ est un entier.

Pour le prouver, le plus simple est — de même que pour les coefficients binomiaux — d'utiliser l'une des nombreuses interprétations combinatoires de C_n[2].

Il existe aussi des preuves algébriques[3]. On peut par exemple remarquer[2],[4],[5] que ${\displaystyle C_{n}={\dbinom {2n}{n}}-{\dbinom {2n}{n-1}}}$.

Cas où n est premier

Si p est un nombre premier, l'égalité ${\displaystyle {\binom {2p}{p}}=2+\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p}{k}}^{2}}$, montre que ${\displaystyle {\dbinom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}.}$

Moins élémentairement, avec le théorème de Wolstenholme, il résulte de ${\displaystyle {\dbinom {2p}{p}}=2{\dbinom {2p-1}{p-1}}}$[6] que si p est supérieur ou égal à 5, on a même${\displaystyle {\dbinom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{3}}}.}$

On conjecture que ${\displaystyle {{2n} \choose {n}}\equiv 2{\pmod {n^{3}}}}$ constitue une condition nécessaire et suffisante pour que ${\displaystyle n\geqslant 5}$ soit premier, car cette propriété est vraie jusqu'à ${\displaystyle n=10^{9}}$, mais cette conjecture n'est pas prouvée [7].

Plus grand exposant d'un facteur premier

Dans la décomposition en produit de facteurs premiers du coefficient binomial central d'ordre n, on note e la puissance du nombre premier p, c'est-à-dire que e est le plus grand exposant tel que p^e divise ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}}$. Si ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ désigne la partie entière du réel x, alors, en posant ${\displaystyle k=\lfloor \log _{p}2n\rfloor }$, on établit, en application de la formule de Legendre[8] :

${\displaystyle e=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {2n}{p^{i}}}\right\rfloor -2\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }$

Par exemple, si ${\displaystyle n=14}$ et ${\displaystyle p=5}$, alors ${\displaystyle k=2}$ et ${\displaystyle e=2}$, de sorte que 5^2 divise le nombre ${\displaystyle {\dbinom {28}{14}}=40~116~600}$ mais 5^3 ne le divise pas.

D'après le théorème de Kummer, on a aussi : ${\displaystyle e={\dfrac {2s_{p}(n)-s_{p}(2n)}{p-1}}}$ où ${\displaystyle s_{p}(n)}$ est la somme des chiffres de n en base p, ce qui est aussi égal au nombre de retenues lorsqu'on effectue l'addition ${\displaystyle n+n}$ en base p. Par exemple, si tous les chiffres de n en base p sont strictement inférieurs à ${\displaystyle p/2}$ ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}}$ n'est pas multiple de p.

Dans le cas où ${\displaystyle p=2}$, le nombre e est donc le nombre de 1 dans l’écriture binaire de n [9]. Pour tout n > 0, e vaut donc au moins 1 et l'on retrouve ainsi (voir supra) que ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ est pair, et on obtient qu'il est même multiple de 4 si n n'est pas une puissance de 2[9].

Particularité de la fin de la décomposition en produit de facteurs premiers

La décomposition en produit de facteurs premiers de ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ possède la particularité de se terminer par la liste des nombres premiers de ${\displaystyle \left]n,2n\right]}$ (liste non vide d'après le postulat de Bertrand), comme le montre l'exemple ${\displaystyle {\binom {20}{10}}=2^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19}$.

On montre en effet [10] à partir de la formule de Legendre ci-dessus qu'un nombre premier p apparait dans la décomposition de ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ en produit de facteurs premiers avec l'exposant ${\displaystyle e=1}$ pour p dans ${\displaystyle \left]n,2n\right]}$, et avec l'exposant ${\displaystyle e=0}$ pour ${\displaystyle p>2n}$.

Le produit des nombres premiers de ${\displaystyle \left]n,2n\right]}$ : ${\displaystyle P_{n}={\frac {(2n)\#}{n\#}}}$ où ${\displaystyle n\#}$ désigne la primorielle de n est en particulier un diviseur de ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ et les diviseurs premiers de ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}/P_{n}}$ sont tous inférieurs ou égaux à n.

Sur le site de l'OEIS, ${\displaystyle (P_{n})}$ est répertoriée comme suite A261130 de l'OEIS, et ${\displaystyle \left({\binom {2n}{n}}/P_{n}\right)}$ comme suite A263931 de l'OEIS.

En 1850, Tchebychev utilise cette propriété pour obtenir une évaluation de la distribution des nombres premiers[11].

Une conjecture due à Erdős

Les exemples vus précédemment montrent que si les nombres premiers supérieurs à n de la décomposition de ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ ont un exposant égal à 1, au moins l'un de ceux qui précèdent possède un exposant > 1. Si n n'est pas une puissance de 2, on a vu que ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ est multiple de ${\displaystyle 2^{2}}$, mais le phénomène est général [12].

En 1975, Paul Erdős conjecture que, pour ${\displaystyle n\geqslant 5}$, le coefficient binomial central ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}}$ est toujours divisible par le carré d'un nombre premier, c'est-à-dire qu'il n'est pas quadratfrei. Le résultat est établi pour n grand par András Sárközy dix ans plus tard[13]. Il est totalement démontré par G. Velammal en 1995[14] et indépendamment par Andrew Granville et Olivier Ramaré en 1996[15].

La suite des plus grands exposants dans la décomposition en produit de facteurs premiers de ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}}$ est répertoriée comme suite A263922 de l'OEIS.

Lien avec la fonction de compte des nombres premiers

Le coefficient binomial central vérifie la majoration ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}\leqslant (2n)^{\pi (2n)}}$ où ${\displaystyle \pi (x)}$ est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux au réel x [10],[16]:

En effet, en utilisant la majoration ${\displaystyle \lfloor 2y\rfloor -2\lfloor y\rfloor \leqslant 1}$ valable pour tout réel y, la valuation ${\displaystyle e_{p}}$ de l'entier p dans ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ vérifie ${\displaystyle e_{p}\leqslant \lfloor \log _{p}2n\rfloor }$ d'après la formule de Legendre. Puisque ${\displaystyle p^{\lfloor \log _{p}2n\rfloor }\leqslant 2n}$

${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}\leqslant \prod _{p\leqslant 2n}p^{\lfloor \log _{p}2n\rfloor }\leqslant \prod _{p\leqslant 2n}2n=(2n)^{\pi (2n)}}$.

Tchebychev utilise cette propriété pour établir la minoration de gauche dans les inégalités suivantes [17]

${\displaystyle \forall x\geqslant 2,{\frac {\ln {2}}{4}}{\frac {x}{\ln {x}}}\leqslant \pi (x)\leqslant 9\ln {2}{\frac {x}{\ln {x}}}}$

En effet, de manière élémentaire : ${\displaystyle 2^{n}\leqslant {\dbinom {2n}{n}}}$ donc ${\displaystyle \pi (2n)\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {(2n)}}}}$. Si à ${\displaystyle x\geqslant 2}$ on associe l'entier n tel que ${\displaystyle n\leqslant {\frac {x}{2}}<n+1}$ :

${\displaystyle \pi (x)\geqslant \pi (2n)\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {(2n)}}}\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {x}}}\geqslant {\frac {(2n+2)\ln {2}}{4\ln {x}}}>{\frac {\ln {2}}{4}}{\frac {x}{\ln {x}}}}$.

Séries avec coefficient binomial central

Série génératrice

Notons ${\displaystyle A_{n}={\dbinom {2n}{n}}}$ et ${\displaystyle G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}x^{n}}$ la série génératrice associée. À l'aide de la relation de récurrence :

${\displaystyle (n+1)A_{n+1}=2(2n+1)A_{n}}$,

on montre que ${\displaystyle G}$ est solution de l'équation différentielle linéaire : ${\displaystyle (1-4x)G^{\prime }(x)=2G(x)}$ ce qui permet d'obtenir l'expression[18],[19] (valable pour ${\displaystyle |x|<1/4}$) :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\dbinom {2n}{n}}x^{n}=G(x)={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}}$.

Série génératrice de l'inverse

Elle se déduit facilement de la relation : ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2x)^{2n}}{\binom {2n}{n}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}+{\frac {x\arcsin x}{(1-x^{2})^{3/2}}}}$.

On en déduit la somme des inverses des coefficients binomiaux centraux : ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {2n}{n}}}={\frac {4}{3}}+{\frac {2\pi {\sqrt {3}}}{27}}}$, voir la suite A091682 de l'OEIS.

Cette relation s'obtient par dérivation de la série génératrice des intégrales de Wallis d'ordre impair[20] : ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4^{n}}{\binom {2n}{n}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}={\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.

Pour ${\displaystyle x={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ dans cette dernière, on obtient la série connue d'Euler[21] : ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2n+1}}{\frac {1}{\binom {2n}{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{1\times 3\times \cdots \times {(2n+1)}}}={\frac {\pi }{2}}}$.

Autres séries remarquables

Le coefficient binomial central apparaît de manière inattendue dans des égalités remarquables, ce qui explique l'intérêt qui lui est porté[22].

En 1985, Derrick Lehmer[23] calcule, en fonction de deux suites de polynômes définies par récurrence sur l'entier ${\displaystyle k\geqslant -2}$, les séries de la forme

${\displaystyle S_{k}(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n^{k}(2x)^{2n}}{\dbinom {2n}{n}}}}$

Par exemple (voir supra)[24],[25] : ${\displaystyle S_{-1}(x)={\frac {2x\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ donc en divisant par ${\displaystyle 2x}$ et en intégrant[26],[27] : ${\displaystyle S_{-2}(x)=2(\arcsin x)^{2}}$.

En 1730, dans son étude du problème de Bâle, Stirling avait utilisé l'accélération de convergence ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=3\,S_{-2}(1/2)=3\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}}$ pour déterminer des valeurs approchées de la première somme[27] (il ne disposait pas de l'égalité ci-dessus, dont on déduit que ${\displaystyle S_{-2}(1/2)=\pi ^{2}/18}$).

L'intérêt pour les sommes avec coefficient binomial central s'est accru après que Roger Apéry a utilisé l'égalité ${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {5}{2}}S_{-3}(\mathrm {i} /2)}$ où ${\displaystyle \zeta }$ désigne la fonction zêta de Riemann. Dans un théorème qui porte son nom, il en déduit que ${\displaystyle \zeta (3)}$ est irrationnel[28].

Lehmer montre que ${\displaystyle S_{k}(1/{\sqrt {2}})=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n^{k}2^{n}}{\dbinom {2n}{n}}}=u_{k}\pi +v_{k}}$ où ${\displaystyle 2u_{k}}$ et ${\displaystyle v_{k}}$ sont des entiers, et remarque que ${\displaystyle v_{k}/u_{k}}$ est « une bonne approximation de ${\displaystyle \pi }$ »[23] . La suite ${\displaystyle (2u_{k-1})}$ est la suite A014307 de l'OEIS et ${\displaystyle (v_{k})}$ la suite A180875 de l'OEIS ; le fait que ${\displaystyle \lim v_{k}/u_{k}=\pi }$ a été démontré en 2011 [29],[30].

Lehmer s'intéresse plus généralement aux séries du type ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}{\binom {2n}{n}}{\text{ ou }}\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {a_{n}}{\dbinom {2n}{n}}}}$, où les ${\displaystyle a_{n}}$ sont « des fonctions très simples de ${\displaystyle n}$ »[31]. Par exemple, en divisant par ${\displaystyle x}$ l'égalité ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}-1}$ (voir supra) et en intégrant, il obtient[24],[25] :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n}}=2\ln {\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}}$.

En remplaçant ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ dans la double expression ci-dessus de ${\displaystyle S_{-1}(x)}$ et en dérivant, on obtient :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}(2x)^{n-1}}{n{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\arcsin {\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}}}}}$,

qui donne, pour ${\displaystyle x=1/4}$ [32]:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n{\binom {2n}{n}}}}=\pi {\frac {\sqrt {3}}{9}}}$

Autres expressions du coefficient binomial central

Représentations intégrales

On trouve dans la littérature plusieurs expressions du coefficient binomial central à l'aide d'intégrales[33]. Ainsi par exemple

${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}(2\sin x)^{2n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{4}{\sqrt {\frac {x}{4-x}}}x^{n-1}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{(1/4+x^{2})^{n+1}}}\,\mathrm {d} x}$

La première expression est liée à l'intégrale de Wallis d'ordre pair : ${\displaystyle W_{2n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n}x{\text{ d}}x={\frac {\pi }{2}}{\frac {\binom {2n}{n}}{4^{n}}}}$.

Expressions binomiales

Le coefficient binomial central s'obtient comme résultat des sommes suivantes[34] :

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}(-1)^{n-k}{\binom {2n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {2n+1}{k}}={\binom {2n}{n}}}$

La première relation — cas particulier de l'identité de Vandermonde — s'obtient par exemple en exprimant le coefficient de degré n de deux façons dans ${\displaystyle (1+X)^{2n}=(1+X)^{n}(1+X)^{n}}$.

La deuxième relation s'obtient en exprimant le coefficient de degré 2n de deux façons dans l'identité ${\displaystyle (1-X^{2})^{2n}=(1-X)^{2n}(1+X)^{2n}}$.

La troisième est le cas particulier ${\displaystyle m=2n+1}$ de l'égalité ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {m}{k}}=(-1)^{n}{\binom {m-1}{n}}}$, que l'on peut démontrer par récurrence sur ${\displaystyle n}$ (à l'aide de la formule de Pascal), mais aussi combinatoirement[35].

Expressions approchées et comportement asymptotique

Comportement asymptotique

Connaissant un équivalent de la suite des intégrales de Wallis et leur lien avec les coefficients binomiaux centraux (voir supra), on obtient : ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$.

Cet équivalent permet d'établir la formule de Stirling à partir de celle d'Abraham de Moivre.

Inversement, on peut utiliser la formule de Stirling pour produire un équivalent du coefficient binomial central[36].

A partir du développement asymptotique de ${\displaystyle n}$!, on obtient ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {1}{8n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)\right)}$.

Encadrement

L'encadrement issu du développement ci-dessus : ${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {1}{8n}}\right)\leqslant {\binom {2n}{n}}\leqslant {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$ est valable pour tout ${\displaystyle n\geqslant 1}$.

On peut même améliorer la majoration en ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\leqslant {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi (n+1/4)}}}}$ pour tout ${\displaystyle n\geqslant 1}$[37].

Produit de deux coefficients binomiaux centraux

Le produit ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}{\binom {2m}{m}}}$ est divisible par ${\displaystyle {\binom {n+m}{n}}}$. Leur quotient ${\displaystyle T_{n,m}={\frac {(2n)!(2m)!}{n!m!(n+m)!}}}$ est représenté par la suite A068555 de l'OEIS.

Cette propriété peut se démontrer par récurrence grâce à la relation ${\displaystyle T_{n+1,m}=4T_{n,m}-T_{n,m+1}}$ ou à l'aide de la formule de Legendre[38].

Définition alternative

Dans son encyclopédie CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (en), Eric W. Weisstein définit le coefficient binomial central d'ordre n comme étant le coefficient binomial ${\displaystyle {\dbinom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}}$[39]. Il s'agit alors de la suite A001405 de l'OEIS.

Les termes de rang n pair selon cette définition correspondent aux coefficients définis au début de cet article.

Références

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4. Koshy, Example 2.2, p. 16 (avec une coquille).
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12. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth et Oren Patashnik, Mathématiques concrètes, Thomson Publishing France, 1998, p. 580
13. (en) András Sárközy, « On divisors of binomial coefficients », Journal of Number Theory, vol. 20, n^o 1,‎ 1985, p. 70-80 (DOI 10.1016/0022-314X(85)90017-4 ).
14. (en) G Velammal, « Is the binomial coefficient ${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$ squarefree? », Hardy-Ramanujan Journal, vol. 18,‎ 1995, p. 23-45.
15. (en) Andrew Granville et Olivier Ramaré, « Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients », Mathematika, Cambridge University Press, vol. 43,‎ 1996, p. 73-107 (DOI 10.1112/S0025579300011608 ).
16. De Koninck-Mercier, p. 96-98.
17. De Koninck-Mercier, p. 28.
18. Koshy, p. 26-28.
19. Lehmer, p. 449, écrit directement cette formule, comme cas particulier de la formule du binôme généralisée. Pour plus de détails, voir par exemple Adad, § 4, (en) Michael Z. Spivey, The Art of Proving Binomial Identities, CRC Press, 2019 (lire en ligne), p. 119 (identité 150) ou (en) George Boros et Victor H. Moll, Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals, Cambridge University Press, 2004 (lire en ligne), p. 134-135.
20. Lehmer, p. 454.
21. J.P. Delahaye, Nombre pi, Malgré les progrès des sciences, il reste une énigme, Le Monde/ Belin, 2024, p. 11
22. Koshy, p. 13.
23. Lehmer, p. 453-456.
24. Lehmer, p. 450.
25. Boros-Moll, p. 119.
26. Lehmer, p. 453.
27. Adad, § 5.
28. Khristo Boyadzhiev, « Power Series with Inverse Binomial Coefficients and Harmonic Numbers », sur ResearchGate.
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30. Joël Pipon, Claude Morin, « Une série numérique avec coefficient binomial central », Bulletin de l'union des professeurs des classes préparatoires scientifiques, n^o 278,‎ 2022, p. 63-71 (lire en ligne)
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32. Géry Huvent, « Autour de la primitive de t^p coth (αt/2) », p. 5-6
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38. Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, Algèbre, Ellipses, 2016, p. 99
39. Eric W. Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 1999 (ISBN 0-8493-9640-9), p. 218

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Thomas Koshy, Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, 2009, 422 p. (ISBN 019533454X, lire en ligne), chap. 2 (« The Central Binomial Coefficient »). 
• (en) Derrick Lehmer, « Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient », The American Mathematical Monthly, vol. 92, n^o 7,‎ août-septembre 1985, p. 447-469 (DOI 10.2307/2322496). 
• Jean-Marie De Koninck et Armel Mercier, Introduction à la théorie des nombres, Modulo Éditeur, 1994, 254 p. (ISBN 2-89113-500-8), « Les inégalités de Tchebycheff ». 

Liens externes

• (en) « Central binomial coefficient », sur PlanetMath