Théorème de Wolstenholme

Le théorème de Wolstenholme, démontré en 1862 par Joseph Wolstenholme, énonce que pour tout nombre premier p supérieur ou égal à 5,

${\displaystyle {{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}.}$

Par exemple pour p = 7 : le coefficient binomial ${\displaystyle \scriptstyle {13 \choose 6}}$ est égal à 1716 = 1 + 7^3×5.

La congruence analogue modulo p^2 avait été démontrée en 1819 par Charles Babbage.

La preuve originelle de Wolstenholme n'utilise que des calculs algébriques élémentaires. Il démontre d'abord que le numérateur du (p – 1)-ième nombre harmonique

${\displaystyle H_{p-1}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{p-1}}}$

est multiple de p^2, en déduit que le (p – 1)-ième nombre de Wolstenholme (le numérateur du nombre harmonique généralisé d'ordre 2

${\displaystyle H_{p-1,2}=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}$)

est multiple de p, puis déduit son théorème de ces deux résultats, qui sont parfois eux aussi appelés « théorème de Wolstenholme ».

Problème réciproque

Comme pour le théorème de Wilson : ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$ , qui constitue une condition nécessaire et suffisante pour que ${\displaystyle n\geqslant 2}$ soit premier, on conjecture que ${\displaystyle {{2n-1} \choose {n-1}}\equiv 1{\pmod {n^{3}}}}$ constitue une condition nécessaire et suffisante pour que ${\displaystyle n\geqslant 5}$ soit premier, car cette propriété est vraie jusqu'à ${\displaystyle n=10^{11}}$[1], mais cette conjecture n'est pas prouvée [2].

Voir aussi

• Le théorème de Lucas qui donne ${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv {\binom {1}{0}}{\binom {p-1}{p-1}}=1{\pmod {p}}}$.
• Les nombres premiers de Wieferich, vérifiant ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$.

Notes et références

• (en) C. Babbage, « Demonstration of a theorem relating to prime numbers », The Edinburgh Philosophical Journal, vol. 1,‎ 1819, p. 46-49 (lire en ligne)
• (en) J. Wolstenholme, « On certain properties of prime numbers », The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 5,‎ 1862, p. 35-39 (lire en ligne)
• (en) J. W. L. Glaisher, « Congruences relating to the sums of products of the first n numbers and to other sums of products », Quart. J. Pure Appl. Math. (en), vol. 31,‎ 1900, p. 1-35 (lire en ligne)
• (en) J. W. L. Glaisher, « On the residues of the sums of products of the first p – 1 numbers, and their powers, to modulus p^2 or p^3 », Quart. J. Pure Appl. Math., vol. 31,‎ 1900, p. 321-353 (lire en ligne)

1. (en) Andrew R. Booker, Shehzad Hathi, Michael J. Mossinghoff et Timothy S. Trudgian, « Wolstenholme and Vandiver primes », The Ramanujan Journal, vol. 58, n^o 3,‎ 1^er juillet 2022, p. 913–941 (ISSN 1572-9303, DOI 10.1007/s11139-021-00438-3, lire en ligne, consulté le 6 novembre 2024)
2. (en) Richard J. McIntosh, « On the converse of Wolstenholme’s Theorem », Acta Arith., vol. 71, n^o 4,‎ 1995, p. 381-389 (lire en ligne)