En mathématiques , en particulier en algèbre , les radicaux imbriqués (ou radicaux emboités ) sont des expressions contenant des racines d'expressions contenant elles-mêmes des racines.
Par exemple
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
pentagone régulier [ N 1]
2
+
3
+
4
3
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}}}}
On peut désimbriquer certains radicaux imbriqués. Par exemple :
2
3
−
1
3
=
1
−
2
3
+
4
3
9
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}}
Mais la désimbrication de radicaux est généralement considérée comme un problème difficile.
Dans certains cas, des radicaux de puissances plus hautes peuvent être nécessaires pour enlever l'imbrication de certaines classes de radicaux imbriqués[ 1]
Un cas simple
Un cas particulier abordable est celui où un réel représenté par deux racines carrées imbriquées s'exprime comme une somme ou différence de deux racines carrées. Par exemple :
3
+
8
=
1
+
2
{\displaystyle {\sqrt {3+{\sqrt {8}}}}=1+{\sqrt {2}}}
5
−
24
=
3
−
2
{\displaystyle {\sqrt {5-{\sqrt {24}}}}={\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}
2
+
3
=
3
2
+
1
2
{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}}
Si a et b sont des rationnels positifs tels que √b irrationnel et inférieur à a , pour pouvoir mettre
a
+
b
{\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}\quad }
ou
a
−
b
{\displaystyle \quad {\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}}
sous la forme
c
+
ε
d
(
c
,
d
∈
Q
+
,
c
⩾
d
,
ε
=
±
1
)
,
{\displaystyle {\sqrt {c}}+\varepsilon {\sqrt {d}}\quad (c,d\in \mathbb {Q} _{+},~c\geqslant d,~\varepsilon =\pm 1),}
il faut et il suffit que le nombre
R
=
a
2
−
b
{\displaystyle R={\sqrt {a^{2}-b}}}
soit rationnel. La solution est alors :
a
±
b
=
c
±
d
{\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {c}}\pm {\sqrt {d}}}
avec
c
=
a
+
R
2
et
d
=
a
−
R
2
.
{\displaystyle c={\frac {a+R}{2}}\quad {\text{et}}\quad d={\frac {a-R}{2}}.}
Démonstration
Supposons
a
,
b
,
c
,
d
∈
Q
+
,
ε
,
ε
′
=
±
1
,
a
⩾
b
,
c
⩾
d
,
et
b
∉
Q
;
{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Q} _{+},~\varepsilon ,\varepsilon '=\pm 1,~a\geqslant {\sqrt {b}},~c\geqslant d,~{\text{et}}~{\sqrt {b}}\notin \mathbb {Q} ~;}
Si
a
+
ε
′
b
=
c
+
ε
d
,
{\displaystyle {\sqrt {a+\varepsilon '{\sqrt {b}}}}={\sqrt {c}}+\varepsilon {\sqrt {d}},}
alors
a
+
ε
′
b
=
c
+
d
+
2
ε
c
d
,
{\displaystyle a+\varepsilon '{\sqrt {b}}=c+d+2\varepsilon {\sqrt {cd}},}
donc (en prenant le conjugué )
a
−
ε
′
b
=
c
+
d
−
2
ε
c
d
,
{\displaystyle a-\varepsilon '{\sqrt {b}}=c+d-2\varepsilon {\sqrt {cd}},}
si bien que
R
=
a
2
−
b
=
c
−
d
∈
Q
,
c
+
d
=
a
,
ε
=
ε
′
,
{\displaystyle R={\sqrt {a^{2}-b}}=c-d\in \mathbb {Q} ,~c+d=a,~\varepsilon =\varepsilon ',}
c
=
a
+
R
2
et
d
=
a
−
R
2
.
{\displaystyle c={\frac {a+R}{2}}\quad {\text{et}}\quad d={\frac {a-R}{2}}.}
La vérification de la réciproque est immédiate.
Srinivasa Ramanujan a démontré un certain nombre d'identités impliquant l'imbrication de radicaux. Parmi celles-ci figurent les suivantes[ 2]
3
+
2
5
4
3
−
2
5
4
4
=
5
4
+
1
5
4
−
1
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}}
28
3
−
27
3
=
98
3
−
28
3
−
1
3
{\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1}{3}}}
32
5
5
−
27
5
5
3
=
1
25
5
+
3
25
5
−
9
25
5
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}}}
2
3
−
1
3
=
1
9
3
−
2
9
3
+
4
9
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}}
[ 3] Voici d'autres simplifications de radicaux inspirées par Ramanujan :
8
a
2
−
1
4
+
(
8
a
2
−
1
)
2
−
1
4
=
a
+
1
2
+
a
−
1
2
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8a^{2}-1}}+{\sqrt[{4}]{(8a^{2}-1)^{2}-1}}={\sqrt {a+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {a-{\frac {1}{2}}}}}
[ 3]
8
a
2
−
1
4
−
(
8
a
2
−
1
)
2
−
1
4
=
a
+
1
2
−
a
−
1
2
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8a^{2}-1}}-{\sqrt[{4}]{(8a^{2}-1)^{2}-1}}={\sqrt {a+{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {a-{\frac {1}{2}}}}}
Algorithme de Landau
En 1989, Susan Landau a présenté le premier algorithme pour décider quels radicaux imbriqués peuvent être simplifiés[ 4] Des algorithmes antérieurs ont fonctionné dans certains cas, mais pas dans d'autres. [évasif] racines de l'unité et s'exécute en un temps exponentiel par rapport à la profondeur du radical imbriqué [ 5]
Les sinus , cosinus et tangente d'un multiple rationnel θ de π θ/π s'écrit comme une fraction dont le dénominateur a pour indicatrice d'Euler une puissance de 2 .
Par exemple :
φ
(
60
)
=
2
4
et
cos
7
π
60
=
2
(
3
−
1
)
5
−
5
+
2
(
3
+
1
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle \varphi (60)=2^{4}\quad {\text{et}}\quad \cos {\frac {7\pi }{60}}={\frac {2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}}
φ
(
24
)
=
2
3
et
sin
π
24
=
2
−
2
+
3
2
{\displaystyle \varphi (24)=2^{3}\quad {\text{et}}\quad \sin {\frac {\pi }{24}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}{2}}}
Imbrication infinie de radicaux
Pour tous réel r , s > 0[ 6] , [ N 2] suite récurrente (un ) définie par
u
0
=
0
{\displaystyle u_{0}=0}
u
n
+
1
=
r
+
s
u
n
{\displaystyle u_{n+1}={\sqrt {r+su_{n}}}}
est strictement croissante et converge vers la solution de x = √r + sx s + √s 2 + 4r / 2 équation du second degré x 2 – sx – r = 0
r
+
s
r
+
s
r
+
s
r
+
⋯
{\displaystyle {\sqrt {r+s{\sqrt {r+s{\sqrt {r+s{\sqrt {r+\cdots }}}}}}}}}
Par exemple[ N 3]
2
+
2
+
2
+
2
+
⋯
=
2
{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}=2}
ou encore :
1
+
1
+
1
+
1
+
⋯
=
1
+
5
2
=
φ
{\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi }
nombre d‘or )et plus généralement :
1
+
p
1
+
p
1
+
p
1
+
⋯
=
p
+
p
2
+
4
2
=
φ
p
{\displaystyle {\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}=\varphi _{p}}
p -ième nombre métallique , nombre d'argent pour p = 2.De même[ 6] , [ N 2] r , s > 0r > s 2
r
−
s
r
−
s
r
−
s
r
−
⋯
{\displaystyle {\sqrt {r-s{\sqrt {r-s{\sqrt {r-s{\sqrt {r-\cdots }}}}}}}}}
défini comme limite d'une suite, est la racine positive –s + √s 2 + 4r / 2 x 2 + sx – r = 0
Par exemple :
2
−
2
−
2
−
2
−
⋯
=
1
{\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-\cdots }}}}}}}}=1}
Radicaux infinis de Ramanujan
Ramanujan a posé le problème suivant au Journal of the Indian Mathematical Society :
Trouver la valeur de
1
+
2
1
+
3
1
+
⋯
{\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}
6
+
2
7
+
3
8
+
⋯
{\displaystyle {\sqrt {6+2{\sqrt {7+3{\sqrt {8+\cdots }}}}}}}
et l'a résolu ainsi[ 7]
Pour p = 2p = 3
f
p
(
n
)
=
n
(
n
+
p
)
{\displaystyle f_{p}(n)=n(n+p)}
f
p
(
n
)
=
n
a
p
n
+
b
p
+
f
p
(
n
+
1
)
{\displaystyle f_{p}(n)=n{\sqrt {a_{p}n+b_{p}+f_{p}(n+1)}}}
a
p
{\displaystyle a_{p}}
b
p
{\displaystyle b_{p}}
(
n
+
p
)
2
=
(
n
+
1
)
(
n
+
1
+
p
)
+
a
p
n
+
b
p
{\displaystyle (n+p)^{2}=(n+1)(n+1+p)+a_{p}n+b_{p}}
c.-à-d.
a
p
=
p
−
2
{\displaystyle a_{p}=p-2}
b
p
=
p
2
−
p
−
1
{\displaystyle b_{p}=p^{2}-p-1}
n
+
p
=
a
p
n
+
b
p
+
(
n
+
1
)
a
p
(
n
+
1
)
+
b
p
+
(
n
+
2
)
a
p
(
n
+
2
)
+
b
p
+
(
n
+
3
)
…
{\displaystyle n+p={\sqrt {a_{p}n+b_{p}+(n+1){\sqrt {a_{p}(n+1)+b_{p}+(n+2){\sqrt {a_{p}(n+2)+b_{p}+(n+3){\sqrt {\dots }}}}}}}}}
(la convergence, pour tous réels p ≥ 2n ≥ 0Tirukkannapuram Vijayaraghavan [ 8]
n
+
2
=
1
+
(
n
+
1
)
1
+
(
n
+
2
)
1
+
(
n
+
3
)
…
{\displaystyle n+2={\sqrt {1+(n+1){\sqrt {1+(n+2){\sqrt {1+(n+3){\sqrt {\dots }}}}}}}}}
1
+
2
1
+
3
1
+
…
=
3
{\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dots }}}}}}=3}
n
+
3
=
n
+
5
+
(
n
+
1
)
n
+
6
+
(
n
+
2
)
n
+
7
+
…
{\displaystyle n+3={\sqrt {n+5+(n+1){\sqrt {n+6+(n+2){\sqrt {n+7+\dots }}}}}}}
6
+
2
7
+
3
8
+
…
=
4
{\displaystyle {\sqrt {6+2{\sqrt {7+3{\sqrt {8+\dots }}}}}}=4}
Le critère de convergence de Vijayaraghavan a été généralisé par Herschfeld[ 9] , [ N 4]
Pour tous réels si ≥ 1série
∑
n
≥
1
∏
1
≤
i
≤
n
1
s
i
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {1}{s_{i}}}}
converge et pour tous réels positifs ai , le radical imbriqué
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
s
3
s
2
s
1
{\displaystyle {\sqrt[{s_{1}}]{a_{1}+{\sqrt[{s_{2}}]{a_{2}+{\sqrt[{s_{3}}]{a_{3}+\cdots }}}}}}}
(
a
n
s
1
…
s
n
)
{\displaystyle \left({\sqrt[{s_{1}\dots s_{n}}]{a_{n}}}\right)}
majorée .
Herschfeld donne comme exemple introductif[ 10] si = 2, ai = i
1
+
2
+
3
+
…
≈
1,757
933
{\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {2+{\sqrt {3+\dots }}}}}}\approx 1{,}757933}
A072449 de l'OEIS [ 11]
Ramanujan a résolu dans son Cahier perdu [ 12]
5
+
5
+
5
−
5
+
5
+
5
+
5
−
⋯
=
2
+
5
+
15
−
6
5
2
{\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}}
A286984 de l'OEIS ).Viète pour π
2
π
=
2
2
⋅
2
+
2
2
⋅
2
+
2
+
2
2
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }
Racine cubique
Pour tous réels r , s > 0ci-dessus pour les racines carrées [ N 5]
r
+
s
r
+
s
r
+
s
r
+
⋯
3
3
3
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+\cdots }}}}}}}}}
comme la limite d'une suite croissante, qui converge vers la racine réelle positive de l'équation cubique x 3 − sx − r = 0
Par exemple :
1
+
1
+
1
+
1
+
⋯
3
3
3
3
=
ψ
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}}}=\psi }
nombre plastique .De même[ N 6] r , s > 0r 2 > s 3
r
−
s
r
−
s
r
−
s
r
−
⋯
3
3
3
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-\cdots }}}}}}}}}
est la racine réelle de x 3 + sx − r = 0
n -ième
x
n
−
1
=
x
x
x
…
n
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{n-1}]{x}}={\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x\dots }}}}}}}
n ≥ 2[ 13]
2
−
2
−
2
−
2
−
⋯
n
n
n
n
=
1
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-\cdots }}}}}}}}=1}
n ≥ 2
Notes
↑ (en) Susan Landau, « How to Tangle with a Nested Radical », The Mathematical Intelligencer vol. 16, 1994 , p. 49-55 (DOI 10.1007/bf03024284 lire en ligne ) ↑ (en) Susan Landau, « A note on 'Zippel Denesting' 1993 ↑ a et b (en) Bruce C. Berndt , Heng Huat Chan et Liang-Cheng Zhang, « Radicals and units in Ramanujan's work ↑ (en) Susan Landau, « Simplification of Nested Radicals », SIAM J. Comput. vol. 21, 1992 , p. 85-110 (DOI 10.1109/SFCS.1989.63496 citeseerx 10.1.1.34.2003 .↑ (en) Eleftherios Gkioulekas, « On the denesting of nested square roots », International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 48 (6) 18 août 2017 , p. 942–953 (lire en ligne ) ↑ a et b (en) Seth Zimmerman et Chungwu Ho, « On infinitely nested radicals », Mathematics Magazine vol. 81, no 1, 2008 , p. 3-15 (JSTOR 27643075 ↑ (en) S. Ramanujan (G. H. Hardy , P. V. S. Aiyar et B. M. Wilson , éd.), Collected Papers of Srinivasa Ramanujan , Providence, RI, AMS , 1962 (1re éd. 1927) (lire en ligne ) , p. 323↑ Ramanujan 1962 , p. 348.↑ (en) Aaron Herschfeld, « On infinite radicals », Amer. Math. Monthly vol. 42, no 7, 1935 , p. 419-429 (JSTOR 2301294 ↑ « In particular, what are the properties of the number K (which we shall call the Kasner number)
K
=
1
+
2
+
3
+
…
{\displaystyle K={\sqrt {1+{\sqrt {2+{\sqrt {3+\dots }}}}}}}
» ↑ (en) Eric W. Weisstein , « Nested Radical Constant MathWorld ↑ (en) B. C. Berndt, Y. S. Choi, S. Y. Kang, « The problems submitted by Ramanujan to the Journal of Indian Math. Soc. », Continued fractions, Contemporary Math no 236, 1999 , p. 5 (lire en ligne ) ↑ Et pour tout x > 0voir infra
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
(en) Allan Borodin , Ronald Fagin , John E. Hopcrofts et Martin Tompa, « Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots », J. Symbolic Computation vol. 1, 1985 , p. 169-188 (DOI 10.1016/S0747-7171(85)80013-4 (en) David J. Jeffrey et Albert D. Rich, « Simplifying Square Roots of Square Roots by Denesting » , dans Michael Wester, Computer Algebra Systems: A Practical Guide , Wiley, 1999 (lire en ligne )
Liens externes
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4439d5d55c170f7fd5fcbba7a613ebb06c1211)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3edc96a7e84967904f8227ec64ced4de313e9f6)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87062cbd85fc75d2450bfdad10ddc54aaf4b5e62)
![{\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84e7e77322f20097a0fb7df46b9573d5bd75e7d)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0f712b5f1e8ee4f7a29d8923cf4873757d0a0f)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6859f1e643eeac4e7227104c50c30ebf7161f64e)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8a^{2}-1}}+{\sqrt[{4}]{(8a^{2}-1)^{2}-1}}={\sqrt {a+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {a-{\frac {1}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23adc84af03aa654a8c45113b80ea756db3c7ef)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8a^{2}-1}}-{\sqrt[{4}]{(8a^{2}-1)^{2}-1}}={\sqrt {a+{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {a-{\frac {1}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a493316b6986a23285dfbf583f222608c235fa80)
![{\displaystyle {\sqrt[{s_{1}}]{a_{1}+{\sqrt[{s_{2}}]{a_{2}+{\sqrt[{s_{3}}]{a_{3}+\cdots }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc0f67aebb7e27ea2b8292f5ae05286dc54e7b3)
![{\displaystyle \left({\sqrt[{s_{1}\dots s_{n}}]{a_{n}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d7000a9ebd797b3994fdf5f61c3bba3e82ecc6)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+\cdots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145caa8dfef469aaf9fac6d700739d79efb6e122)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}}}=\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada813397e6230e9f411dcceb0ad8370f01afdd9)
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