Nombre métallique

En mathématiques, les nombres métalliques (ou constantes métalliques) forment une suite de nombres réels généralisant le nombre d'or. Il a été proposé deux généralisations possibles.

Introduction pour la première généralisation

Le nombre d'or permettant d'exprimer le terme général des suites ${\displaystyle (u_{n})}$ vérifiant la récurrence linéaire définissant la suite de Fibonacci ${\displaystyle u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}}$, il a été proposé d'appeler nombres métalliques les nombres permettant d'exprimer, pour un nombre entier p, le terme général des suites ${\displaystyle (u_{n,p})}$ vérifiant la récurrence linéaire :

${\displaystyle u_{n+2,p}=pu_{n+1,p}+u_{n,p}.}$

Par définition, le p-ième nombre métallique, noté ${\displaystyle \varphi _{p}}$, est l'unique solution positive de l'équation caractéristique de la récurrence : ${\displaystyle x^{2}=px+1}$.

Si une telle suite tend vers l'infini, ${\displaystyle \varphi _{p}}$ est la limite du rapport ${\displaystyle u_{n+1}/u_{n}}$ .

Pour p = 2, le métal proposé a été l'argent, puis le bronze pour le nombre suivant[1],[2],[3].

Les suites ${\displaystyle (u_{n,p})}$ ont été baptisées suites de p - métallonaci (p - metallonacci sequences en anglais)[4].

Diverses expressions

• En tant que solution positive de l'équation du second degré ${\displaystyle x^{2}=px+1}$, on obtient l'expression analytique du nombre métallique d'indice p :

${\displaystyle \varphi _{p}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}}$.

• En réécrivant l'équation sous la forme

${\displaystyle x=p+{1 \over x}}$

on en déduit son développement en fraction continue :

${\displaystyle \varphi _{p}=p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+\ddots \,}}}}}}}}=[p;p,\dots ]}$.

• En réécrivant l'équation sous la forme ${\displaystyle x={\sqrt {1+px}}}$

on en déduit sa forme en radical imbriqué infini :

${\displaystyle \varphi _{p}={\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}$.

• Le p-ième nombre métallique est également donné par une intégrale :

  ${\displaystyle \varphi _{p}=\int _{0}^{p}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{p+2} \over {2p}}\right)}\,\mathrm {d} x.}$

Rectangles métalliques

Les rectangles d'or, d'argent, et de bronze.

Le p-ième nombre métallique est le rapport entre la longueur et la largeur d'un rectangle tel que si on lui ôte p carrés de taille maximale, on obtient un rectangle semblable à celui de départ.

On obtient en effet la relation ${\displaystyle {\frac {l}{L-pl}}={L \over l}}$ qui donne ${\displaystyle x^{2}=px+1}$ si on pose ${\displaystyle x=L/l}$.

Premières valeurs

p	Expression	Écriture décimale	Métal associé	Suite récurrente associée
1	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	1,618033989	Or	suite de Fibonacci
2	1 + √2	2,414213562 [note 1]	Argent	suite de Pell
3	3 + √13/2	3,302775638 [note 2]	Bronze	suite A006190 de l'OEIS
4	2 + √5	4,236067978 [note 3]		suite A001076 de l'OEIS
5	5 + √29/2	5,192582404 [note 4]		suite A052918 de l'OEIS
6	3 + √10	6,162277660 [note 5]		suite A005668 de l'OEIS
7	7 + √53/2	7,140054945 [note 6]		suite A054413 de l'OEIS
8	4 + √17	8,123105626 [note 7]		suite A041025 de l'OEIS
9	9 + √85/2	9,109772229 [note 8]		suite A099371 de l'OEIS
⋮
p	p + √4 + p^2/2			suite A352361 de l'OEIS

Expressions trigonométriques

Numéro du nombre métallique	1	2	3	4
Formule trigonométrique	${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{8}}}$	${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{13}}\left({\frac {\sin {\frac {2\pi }{13}}}{\cos {\frac {3\pi }{13}}}}+1\right)}$	${\displaystyle 8\cos ^{3}{\frac {\pi }{5}}}$
Polygone régulier associé	Pentagone	Octogone	Tridécagone	29-gone

Propriétés des puissances entières

Puissances entières

De même que les puissances successives du nombre d'or vérifient ${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}}$ où ${\displaystyle (F_{n})}$ est la suite de Fibonacci, les puissances des nombres métalliques vérifient :

${\displaystyle \varphi _{p}^{n}=G_{n}\varphi _{p}+G_{n-1}\,\,(1)}$

où la suite ${\displaystyle (G_{n})}$, définie par ${\displaystyle G_{0}=0,G_{1}=1,G_{n+2}=pG_{n+1}+G_{n}}$ est la p-suite de Fibonacci.

En prolongeant la suite ${\displaystyle (G_{n})}$ aux entiers négatifs et en acceptant les ${\displaystyle p}$ négatifs dans la définition de ${\displaystyle \varphi _{p}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}}$ , la relation (1) est valable pour tous les entiers relatifs.

Alors, si ${\displaystyle \varphi '_{p}=\varphi _{-p}=p-\varphi _{p}=-{1 \over {\varphi _{p}}}}$ est l'autre solution de ${\displaystyle x^{2}=px+1}$, les puissances de ${\displaystyle \varphi '_{p}}$ vérifient également ${\displaystyle \varphi _{p}'^{n}=G_{n}\varphi _{p}'+G_{n-1}}$ de sorte que, par application de la formule de Binet, on a l'égalité :

${\displaystyle G_{n}={\frac {\varphi _{p}^{n}-\varphi _{p}'^{n}}{\varphi _{p}-\varphi _{p}'}}}$.

Remarquons aussi que puisque ${\displaystyle {1 \over {\varphi _{p}}}=\varphi _{p}-p}$, l'inverse d'un nombre métallique a la même partie fractionnaire que lui.

De plus, la propriété ${\displaystyle \varphi _{4}=\varphi ^{3}}$ se généralise. En effet, toute puissance impaire d'un nombre métallique est un autre nombre métallique :

${\displaystyle \varphi _{p}^{2n+1}=\varphi _{\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}p^{2k+1}}}$

Par exemple, ${\displaystyle \varphi _{p}^{3}=\varphi _{\left(p^{3}+3p\right)}}$ .

Deuxième généralisation : constantes de p-nacci.

Une autre généralisation de la récurrence linéaire double : ${\displaystyle u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}}$ étant la récurrence p-uple : ${\displaystyle u_{n+p}=u_{n+1}+u_{n+2}+\ldots +u_{n+p-1}}$, il a été aussi proposé d'appeler nombres métalliques les nombres permettant d'exprimer le terme général des suites ${\displaystyle (u_{n})}$ vérifiant cette récurrence. Partant de l'or, l'argent et le cuivre (situés au-dessus de l'or dans le tableau périodique), ont été proposés pour les nombres suivants : le nickel, le cobalt et le fer [5],[6],[7]. Mais par conformité avec les appellations données dans l'encyclopédie des suites entières (OEIS), nous désignerons ces nombres par constantes de p-nacci.

Par définition, chaque constante, notée ${\displaystyle \alpha _{p}}$ dans [5], est l'unique solution positive de l'équation caractéristique de la récurrence : ${\displaystyle x^{p}=1+x+\ldots +x^{p-1}}$ (attention, avec cette numérotation, le nombre d'or est ${\displaystyle \alpha _{2}}$, ${\displaystyle \alpha _{1}}$ étant égal à 1).

En utilisant la formule des suites géométriques, on obtient que ${\displaystyle \alpha _{p}}$ est l'unique solution positive autre que 1 de l'équation de degré p + 1 : ${\displaystyle x^{p+1}-2x^{p}+1=0}$, équation qui peut s'écrire aussi : ${\displaystyle x=2-{\frac {1}{x^{p}}}}$ . Elle ne s'exprime pas à l'aide de radicaux à partir de p = 5, mais peut s'écrire comme somme d'une série[8] :

${\displaystyle \alpha _{p}=2-2\sum _{i=1}^{+\infty }{\frac {\binom {(p+1)i-2}{i-1}}{i\cdot 2^{(p+1)i}}}.}$

Premières valeurs

p	Constante de	Expression	Écriture décimale	Métal (appellation de [6])	Suite récurrente associée
2	Fibonacci	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	1,618033989	Or	suite de Fibonacci
3	Tribonacci	${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+1}{3}}}$	1,8392867552 suite A058265 de l'OEIS	Argent	suite de Tribonacci
4	Tétranacci	Existence d'une expression par radicaux réels faisant intervenir ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{65+3{\sqrt {1689}}}}}$	1,927561975 suite A086088 de l'OEIS	Cuivre	suite de Tétranacci, suite A000078 de l'OEIS
5	Pentanacci	Pas d'expression par radicaux	1,9659482366 suite A103814 de l'OEIS	Nickel	suite de Pentanacci, suite A001591 de l'OEIS
6	Hexanacci	NC	1,983582843 suite A118427 de l'OEIS	Cobalt	suite d'Hexanacci, suite A001592 de l'OEIS
7	Heptanacci	NC	1,991964197 suite A118428 de l'OEIS	Fer	suite d'Heptanacci, suite A122189 de l'OEIS

Étude de la suite des constantes de p-nacci

Cette suite croit strictement de 1 jusqu'à sa limite égale à 2. Ceci est aussi "confirmé" par la suite d' "infinacci" où chaque terme est la somme de tous les précédents, débutant par 0,1 : 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... où le quotient de termes consécutifs vaut exactement 2.

Un encadrement simple est [5]:

${\displaystyle 2-{\frac {1}{2^{p-1}}}\leqslant \alpha _{p}\leqslant 2-{\frac {1}{2^{p}}}}$.

Un développement asymptotique est [5]:

${\displaystyle \alpha _{p}=2-{\frac {1}{2^{p}}}-{\frac {p}{2^{2p+1}}}+o\left({\frac {1}{2^{p}}}\right)}$.

L'équation caractéristique possède une unique solution négative, supérieure à –1 pour p pair, et aucune pour p impair. Cette solution, ainsi que les solutions complexes ${\displaystyle \alpha }$ ont un module vérifiant ${\displaystyle 3^{-p}<|\alpha |<1}$ , qui tend donc vers 1 quand p tend vers l'infini.

Voir également

• Nombre d'argent
• Nombre plastique
• Vera W. de Spinadel

Notes et références

1.  A014176, Decimal expansion of the silver mean, 1+sqrt(2).
2.  A098316, Decimal expansion of [3, 3, ...] = (3 + sqrt(13))/2.
3.  A098317, Decimal expansion of phi^3 = 2 + sqrt(5).
4.  A098318, Decimal expansion of [5, 5, ...] = (5 + sqrt(29))/2.
5.  A176398, Decimal expansion of 3+sqrt(10).
6.  A176439, Decimal expansion of (7+sqrt(53))/2.
7.  A176458, Decimal expansion of 4+sqrt(17).
8.  A176522, Decimal expansion of (9+sqrt(85))/2.

1. (en) Vera W. de Spinadel, « The Family of Metallic Means », Vismath, Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts, vol. 1, n^o 3,‎ 1999 (lire en ligne).
2. de Spinadel, « The Metallic Means and Design », Nexus II: Architecture and Mathematics, Fucecchio (Florence), Edizioni dell'Erba,‎ 1998, p. 141–157 (lire en ligne)
3. (en) « An Introduction to Continued Fractions: The Silver Means », sur maths.surrey.ac.uk.
4. (en) Michael A. Allen and Kenneth Edwards, « Fence tiling derived identities involving the metallonacci numbers squared or cubed », Fibonacci Quart., vol. 60 (), no. 5, 5–17, n^o 5,‎ 2022, p. 5-17 (lire en ligne)
5. G. Huvent, « Les nombres de Métal : alchimie mathématique de la transformation », Irem de Lille,‎ 2004 (lire en ligne)
6. Claire FRANCESCONI, « L’étude des nombres métalliques et de leurs figures associées », Irem de La Réunion,‎ 2012 (lire en ligne)
7. Collectif, « A la suite du nombre d'or, les métalliques », 2011 (consulté le 31 octobre 2021)
8. D.A. Wolfram, « Solving Generalized Fibonacci Recurrences », Fib. Quart.,‎ 1998 (lire en ligne)

Bibliographie

• (en) Alexey Stakhov, « The Mathematics of Harmony: Clarifying the Origins and Development of Mathematics », sur PeaceFromHarmony.org.
• (en) Cristina-Elena Hrețcanu et Mircea Crasmareanu, « METALLIC STRUCTURES ON RIEMANNIAN MANIFOLDS », REVISTA DE LA UNION MATEMATICA ARGENTINA, vol. 54, n^o 2,‎ 2013, p. 15–27 (lire en ligne).
• (en) Miloje M. Rakočević, « FURTHER GENERALIZATION OF GOLDEN MEAN IN RELATION TO EULER’S “DIVINE” EQUATION », sur arxiv.org.