Racine carrée de six

Rectangles d'aire 6, comprenant ceux de côtés 2x3 et 3x2 (en noir), un carré de côté "moyenne géométrique de 2 et 3", soit racine carrée de 6 (pointillés rouges) , et un carré de côté "moyenne arithmétique de 2 et 3" (pointillés noirs) d'aire 6,25

En mathématiques, la racine carrée de six, notée √6 ou 6^1/2, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 6. Il vaut approximativement 2,45.

6 étant le produit de 2 et 3, la racine carrée de 6 est la moyenne géométrique de 2 et 3, et le produit de la racine carrée de 2 et de la racine carrée de 3.

C'est un nombre algébrique irrationnel, un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Approximations rationnelles

Développement décimal

Les soixante premiers chiffres du développement décimal de √6 sont :

2,44948974278317809819728407470589139196594748065667012843269.... , voir la suite A010464 de l'OEIS.

√6 peut être arrondi à 2,45 avec une précision d'environ 99,98 % (différant de la valeur correcte d'environ1/2 000). Il faut deux décimales supplémentaires (2,4495) pour réduire l’erreur d’environ moitié. L'approximation 218/89 (≈ 2,449438...) est presque dix fois meilleure : bien qu'elle ait un dénominateur égal seulement à 89, elle diffère de la valeur correcte de moins de 1/20 000.

La NASA a publié plus d'un million de chiffres décimaux de la racine carrée de six[1].

Développements en fraction continue

La méthode de Bombelli utilisant pour ${\displaystyle a>0}$ la relation ${\displaystyle {\sqrt {6}}=a+{\frac {6-a^{2}}{a+{\sqrt {6}}}}}$ permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée suivant : ${\displaystyle {\sqrt {6}}=\ a+{\frac {6-a^{2}}{2a+{\frac {6-a^{2}}{2a+{\frac {6-a^{2}}{2a+\ldots }}}}}}=1+{\frac {6-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+{\frac {6-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+\cdots }$

Prenant ${\displaystyle a=2}$, on obtient :

${\displaystyle {\sqrt {6}}=\ 2+{\frac {2}{4+{\frac {2}{4+{\frac {2}{4+{\frac {2}{4+\ldots }}}}}}}}=1+{\frac {2\mid }{\mid 4}}+{\frac {2\mid }{\mid 4}}+\cdots }$[2].

En simplifiant par 2 un étage sur deux on obtient le développement en fraction continue simple de √6 [3] :

${\displaystyle {\sqrt {6}}=[2,{\overline {2,4}}]=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}.}$ voir la suite A040003 de l'OEIS.

Ce développement est périodique (période de longueur 2) comme pour tout irrationnel quadratique (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le théorème de Legendre est bien vérifié.

Les huit premières réduites communes à ces deux développements sont :${\displaystyle u_{0}={\frac {2}{1}},u_{1}={\frac {5}{2}},{\frac {22}{9}},u_{3}={\frac {49}{20}},{\frac {218}{89}},{\frac {485}{198}},{\frac {2158}{881}},u_{7}={\frac {4801}{1960}}}$.

Comme pour toute fraction continue d’un nombre irrationnel, elles constituent les meilleures approximations de √6 .

Elles forment la suite ${\displaystyle (u_{n})}$, récurrente homographique, définie par : ${\displaystyle \ u_{0}=2,\ u_{n+1}=2+{\frac {2}{2+u_{n}}}={\frac {2u_{n}+6}{u_{n}+2}}}$.

Les deux sous-suites ${\displaystyle (u_{2n}){\text{ et }}(u_{2n+1})}$ sont adjacentes de limite ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$ et l'on a ${\displaystyle u_{2n}<{\sqrt {6}}<u_{2n+1}}$.

Le rationnel ${\displaystyle u_{n}}$ est égal à ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ où ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ sont les entiers définis par ${\displaystyle (2+{\sqrt {6}})^{n+1}=a_{n}+b_{n}{\sqrt {6}}}$ ; les suites, ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$ sont définies par ${\displaystyle a_{0}=2,b_{0}=1,{\begin{cases}a_{n+1}=2a_{n}+6b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+2b_{n}\end{cases}}}$[4].

On en déduit l'expression explicite[4] :

• ${\displaystyle \forall \ n\geqslant 0,\ u_{n}={\sqrt {6}}{\frac {(2+{\sqrt {6}})^{n+1}+(2-{\sqrt {6}})^{n+1}}{(2+{\sqrt {6}})^{n+1}-(2-{\sqrt {6}})^{n+1}}}}$

Les numérateurs réduits des ${\displaystyle u_{n}}$ sont 2, 5, 22, 49, 218, 485, 2158, 4801, 21362, 47525, 211462, … (suite A041006 de l'OEIS) et leurs dénominateurs réduits 1, 2, 9, 20, 89, 198, 881, 1960, 8721, 19402, 86329, … (suite A041007 de l'OEIS) [5].

Ces numérateurs notés ${\displaystyle x}$ et ces dénominateurs notés ${\displaystyle y}$, fournissent alternativement des solutions aux équations de Pell-Fermat [6]

${\displaystyle x^{2}-6y^{2}=-2\quad \mathrm {and} \quad x^{2}-6y^{2}=1}$.

La méthode de Bombelli pour ${\displaystyle a=2}$ conduit à la fraction continue généralisée : ${\displaystyle {\sqrt {6}}=\ 3-{\frac {3}{6-{\frac {3}{6-{\frac {3}{6-{\frac {3}{6-\ddots }}}}}}}}}$ qui se simplifie en ${\displaystyle {\sqrt {6}}=\ 3-{\frac {1}{2-{\frac {1}{6-{\frac {1}{2-{\frac {1}{6-\ddots }}}}}}}}=[3,{\overline {-2,6}}]}$.

Méthode de Héron

Par la méthode de héron, √6 est la limite de la suite définie par x₀ = a > 0 et x_n+1 = 1/2(x_n + 6/x_n) qui converge quadratiquement (nombre de chiffres décimaux proportionnel au carré du nombre de pas).

On obtient pour ${\displaystyle a=2}$ :

${\displaystyle x_{0}=2,\quad x_{1}={\frac {5}{2}}=2,5,\quad x_{2}={\frac {49}{20}}=2,45,\quad x_{3}={\frac {4801}{1960}}=2,449489796...,\quad x_{4}={\frac {46099201}{18819920}}=2,449489742783179...,\quad \dots }$

Les numérateurs de cette suite forment la suite A244014 de l'OEIS, et ses dénominateurs la suite A244015 de l'OEIS.

La suite ${\displaystyle (x_{n})}$ est une sous-suite de la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ des réduites de la fraction continue de √6. Plus précisément : ${\displaystyle x_{n}=u_{(2^{n}-1)}}$[2],[7] .

En géométrie

Illustration d'une construction de la racine carrée de 6.

En géométrie plane, la racine carrée de 6 peut être construite via une suite de rectangles dynamiques, comme illustré à droite [8],[9],[10]..

En géométrie dans l'espace, la racine carrée de 6 apparaît comme la plus grande distance entre les sommets du double cube, comme illustré à gauche. Les racines carrées de tous les entiers naturels inférieurs apparaissent comme les distances entre les autres paires de sommets du double cube (y compris les sommets des deux cubes inclus)[10].

La longueur du côté d'un cube dont la surface extérieure est égale à 1 vaut ${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{6}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}}$. Les longueurs des arêtes d'un tétraèdre régulier (t), d'un octaèdre régulier (o) et d'un cube (c) de surfaces totales égales satisfont ${\displaystyle {\frac {t\cdot o}{c^{2}}}={\sqrt {6}}}$[11].

Un octaèdre régulier avec sa sphère inscrite, illustrant le rapport égal à racine carrée de 6 entre la longueur d'une arête et le rayon.

La longueur de l'arête d'un octaèdre régulier est égale à la racine carrée de 6 fois le rayon de la sphère inscrite (c'est-à-dire la distance entre le centre du solide et le centre de chaque face)[12].

Un triangle équilatéral avec un rectangle circonscrit et un carré circnscrit ; le côté du carré vaut ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{2}}}$ , et la diagonale du rectangle racine carrée de 7.

La racine carrée de 6 apparaît dans divers autres contextes géométriques, comme la longueur du côté ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{2}}}$du carré circonscrit à un triangle équilatéral de côté 2 (voir figure à gauche).

Trigonométrie

La racine carrée de 6, conjointement avec la racine carrée de 2 ajoutée ou soustraite, apparaît dans plusieurs valeurs trigonométriques exactes pour des angles multiples de 15 degrés (π/12 radians)[13] :

radians	degrés	sin	cos
${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$

Arc en cinquième point du XIIIe siècle, selon l'interprétation de Branner en 1960 (Paris, Bibliothèque nationale de France, MS Fr 19093) de l'artiste picard du XIIIe siècle Villard de Honnecourt.

Dans la culture

La construction du XIIIe siècle par Villard de Honnecourt d'un « arc en cinquième point » gothique avec des arcs de cercle de rayon 5 a une hauteur égale à deux fois la racine carrée de 6, comme illustré ici[14],[15].

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root of 6 » (voir la liste des auteurs).

1. Robert Nemiroff et Jerry Bonnell, « the first 1 million digits of the square root of 6 », nasa.gov (consulté le 17 mars 2022)
2. F. Jaboeuf, Les fractions continues, Irem de Montpellier, septembre 1985, p. 27-29, 45
3. Serge Mehl, « Développement d'un nombre en fraction continue : Développement périodique et irrationalité », sur ChronoMath
4. F. Jaboeuf, Les fractions continues, Irem de Montpellier, septembre 1985, p. 27-29, 45
5. Conrad, « Pell's Equation II », uconn.edu (consulté le 17 mars 2022) : « The continued fraction of √6 is [2; 2, 4], and the table of convergents below suggests (and it is true) that every other convergent provides a solution to x^2 − 6y^2 = 1. »
6. Keith Conrad, « Pell's Equation II », sur uconn.edu (consulté le 17 mars 2022) : « The continued fraction of √6 is [2; 2, 4], and the table of convergents below suggests (and it is true) that every other convergent provides a solution to x^2 − 6y^2 = 1. »
7. « Comparaison des suites de Héron et de Bombelli », sur docs.irem.univ-paris-diderot.fr
8. Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, Whitefish, MT, Reprint of original Yale University Press, 1920 (1^re éd. 1920), 19–29 (ISBN 0-7661-7679-7, lire en ligne) :

   « Dynamic Symmetry root rectangles. »

9. Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life, Courier Dover Publications, 1977, 126–127 (ISBN 9780486235424, lire en ligne )
10. Rachel Fletcher, Infinite Measure: Learning to Design in Geometric Harmony with Art, Architecture, and Nature, George F Thompson Publishing, 2013 (ISBN 978-1-938086-02-1, lire en ligne)
11. Rechtman, « Un défi par semaine Avril 2016, 3e défi (Solution du 2e défi d'Avril) », Images des Mathématiques (consulté le 23 mars 2022)
12. S. C. & L. M. Gould, The Bizarre Notes and Queries in History, Folk-lore, Mathematics, Mysticism, Art, Science, Etc, Volumes 7-8, Manchester, N. H., 1890 (lire en ligne), p. 342 :

    « "In the octahedron whose diameter is 2, the linear edge equals the square root of 6." »

13. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover Publications, 1972 (ISBN 978-0-486-61272-0, lire en ligne), p. 74
14. Branner, « Villard de Honnecourt, Archimedes, and Chartres », Journal of the Society of Architectural Historians, vol. 19, n^o 3,‎ 1960, p. 91–96 (DOI 10.2307/988023, JSTOR 988023, lire en ligne, consulté le 25 mars 2022)
15. Shelby, « Setting Out the Keystones of Pointed Arches: A Note on Medieval 'Baugeometrie' », Technology and Culture, vol. 10, n^o 4,‎ 1969, p. 537–548 (DOI 10.2307/3101574, JSTOR 3101574, lire en ligne, consulté le 25 mars 2022)

Voir aussi

• Racine carrée
• Racine carrée d'un entier naturel
• Racine carrée de 2
• Racine carrée de 3
• Racine carrée de 5
• Racine carrée de 7