Nœud fibré

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En théorie des nœuds, un nœud ou un entrelacs K sur la sphère tridimensionnelle S³ est dit fibré s'il existe une famille à un paramètre F_t de surfaces de Seifert, toutes de bord K, où t parcourt les points du cercle unité S¹, de sorte que, si s est différent de t, l'intersection entre F_s et F_t est exactement K.

Par exemple :

le nœud trivial, le nœud de trèfle et le nœud en huit sont des nœuds fibrés ;
l'entrelacs de Hopf est un entrelacs fibré.

Les nœuds et entrelacs fibrés apparaissent naturellement, mais pas uniquement, en géométrie algébrique complexe. Par exemple, chaque point singulier d'une courbe plane complexe peut être décrit topologiquement comme le cône sur un nœud fibré ou un entrelacs fibré appelé lacet de la singularité. Le nœud de trèfle est le lacet de la singularité z² + w³ ; le lacet de Hopf (s'il est orienté correctement) est le lacet de la singularité z² + w². Dans ces cas, la famille des surfaces de Seifert est un aspect de la fibration de Milnor (en) de la singularité.

Un nœud est fibré si et seulement s'il est la reliure d'un livre ouvert de S³.

Si un nœud est fibré, alors son polynôme d'Alexander (normalisé) est unitaire^[1] (ce qui fournit de nombreux exemples de nœuds non fibrés, comme : tous les nœuds twistés (en) sauf le nœud trivial, le nœud de trèfle et le nœud en huit). La réciproque est fausse en général, comme le montre l'exemple du nœud de Bretzel (en) P(5, –3, 5)^[2], mais vraie pour un nœud alterné^[3].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fibered knot » (voir la liste des auteurs).

↑ Cf. introduction et bibliographie de (en) Hiroshi Goda, Teruaki Kitano et Takayuki Morifuji, « Reidemeister torsion, twisted Alexander polynomial and fibered knots », Comment. Math. Helv., vol. 80, n^o 1,‎ 2005, p. 51-61, arXiv:math/0311155
↑ (en) Stefan Friedl et Stefano Vidussi, « Twisted Alexander polynomials and symplectic structures », Amer. J. Math., vol. 130,‎ 2008, p. 455-484, arXiv:math/0604398
↑ (en) K. Murasugi, « On a certain subgroup of the group of an alternating link », Amer. J. Math., vol. 85,‎ 1963, p. 544-550, lien Math Reviews