Nœud de trèfle

Nœud de trèfle

Faire un nœud de trèfle (vidéo)

Surface de Seifert associée à un nœud de trèfle : il en forme le bord.

En théorie des nœuds, le nœud de trèfle est le nœud le plus simple après le nœud trivial. C'est le seul nœud premier à trois croisements. On peut aussi le décrire comme nœud torique de type (2,3), son mot dans le groupe de tresses étant σ₁^3. Une autre description (liée à la précédente) est l'intersection de la sphère unité ${\displaystyle S^{3}}$ dans C^2 avec la courbe plane complexe d'équation ${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$.

Propriétés

Le nœud de trèfle est chiral, c’est-à-dire qu'il n’est pas équivalent à son image par réflexion. C’est un nœud alterné. C’est un nœud fibré, ce qui signifie que son complément dans ${\displaystyle S^{3}}$ est un fibré sur ${\displaystyle S^{1}}$. Dans la description du nœud de trèfle comme ensemble des couples de nombres complexes ${\displaystyle (z,w)}$ tels que ${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=1}$ et ${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$, ce fibré est donné par l’application de Milnor (en) ${\displaystyle \phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|}$, et la fibre est un tore privé d'un disque. Il est tricoloriable.

Le polynôme d’Alexander du nœud de trèfle est ${\displaystyle t^{2}-t+1}$. Son polynôme de Jones est ${\displaystyle z+z^{3}-z^{4}}$.

Le groupe de nœud (en) du nœud de trèfle est isomorphe au groupe de tresses B₃.

Voir aussi

• Le triquetra, le symbole dont le nœud de trèfle celtique est un exemple
• Le demi-nœud
• Le nœud de vache et le nœud plat , qui sont somme de deux nœuds de trèfle.

Lien externe

Noeud de trèfle, dans MathCurve.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trefoil knot » (voir la liste des auteurs).