Un idéal d'un anneau commutatif est dit maximal lorsqu’il est contenu dans exactement deux idéaux, lui-même et l'anneau tout entier. L'existence d'idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull.
Pour pouvoir néanmoins construire la théorie, un autre concept reste opérationnel : celui des idéaux. Dans un anneau principal, les définitions valables pour les éléments, comme irréductible, premier, premiers entre eux dans leur ensemble, pgcd ou encore ppcm, ont des définitions équivalentes pour les idéaux ; en particulier, la notion d'idéal maximal correspond à celle d'éléments irréductibles, largement utilisée dans la théorie des polynômes.
Définitions
Un idéal maximal d'un anneau commutatif A est un idéal Imaximal pour l'inclusion parmi les idéaux propres de A (i. e. différents de l'anneau tout entier), c.-à-d. que le seul idéal propre de A contenant I est I lui-même.
Un élément irréductible est un élément dont toute décomposition en deux facteurs contient un et un seul élément inversible.
Exemples
L'idéal {0} est maximal (dans un anneau commutatif) si et seulement si l'anneau est un corps[1].
Les anneaux possédant un unique idéal maximal ont une importance particulière : ce sont les anneaux locaux (comme l'anneau des entiers p-adiques ou celui des séries formelles sur un corps). Ils sont en général obtenus après un processus de localisation qui consiste à rendre inversibles suffisamment d'éléments pour qu'il ne reste qu'un idéal maximal.
Un idéal I d'un anneau commutatif A est maximal si, et seulement si, l'anneau quotientA/I est un corps[2].
En effet[1], l'anneau commutatif A/Iest un corps si et seulement s'il est non nul et sans idéal non trivial, c'est-à-dire si et seulement si A ≠ I et les deux seuls idéaux de A contenant I sont A et I.
Les idéaux maximaux de l'anneau (euclidien, donc principal) ℤ des entiers relatifs sont les idéaux de la forme pℤ, pour p un nombre premier.
Si K est un corps commutatif, les idéaux maximaux de l'anneau euclidien K[X] sont les idéaux engendrés par les polynômes irréductibles. Cette propriété permet par exemple de construire le corps de rupture d'un polynôme irréductible. Si K est algébriquement clos (par exemple si K est le corps des nombres complexes), les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1.
Le théorème de Krull (équivalent à l'axiome du choix) assure que dans tout anneau commutatif, un idéal propre est toujours inclus dans au moins un idéal maximal.
En conséquence, un élément de l'anneau est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal. En effet, un élément est non inversible si et seulement si l'idéal qu'il engendre est propre.