(Lorsque l'anneau quotientA/I est fini, cette existence est immédiate.)
Un énoncé équivalent est que tout anneau commutatif unifère non nul possède au moins un idéal maximal (a fortiori au moins un idéal premier).
Krull avait démontré ce résultat en utilisant le théorème du bon ordre[3], équivalent à l'axiome du choix. Max Zorn, alors qu'il ignorait l'article de Krull[3] en donne une autre démonstration publiée en 1935 utilisant ce que l'on appelle maintenant le lemme de Zorn, autre équivalent de l'axiome du choix, dans l'article où il introduit ce dernier et en donne de nombreuses applications à l'algèbre[4].
On considère l'ensemble des idéaux propres de A contenant I, muni de la relation d'inclusion ; il contient I donc est non vide. La réunion de toute chaîne non vide d'idéaux propres contenant I est clairement un idéal contenant I, et cet idéal est encore propre puisqu'il ne contient pas 1. L'ensemble considéré est par conséquent inductif donc, d'après le lemme de Zorn, il possède un élément maximal, qui est alors un idéal maximal contenant I.
Conséquences
Soit A un anneau commutatif non réduit à 0. Le spectre de A n'est pas vide.
Un élément d'un anneau commutatif est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal.En effet, un élément a de cet anneau A est non inversible si et seulement si l'idéal aA est distinct de A c'est-à-dire, d'après le théorème de Krull, si et seulement s'il est inclus dans un idéal maximal.