Idéal principal

En mathématiques, plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un idéal principal est un idéal engendré par un seul élément.

Définition

Soit A un anneau.

• Un idéal à droite I est dit principal à droite s'il est égal à l'idéal à droite engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = aA := { ax | x ∈ A }.
• Un idéal à gauche I est dit principal à gauche s'il est égal à l'idéal à gauche engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = Aa := { xa | x ∈ A }.
• Un idéal bilatère I est dit principal s'il est égal à l'idéal bilatère engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = AaA := { x₁ay₁ + … + x_nay_n | n ∈ N, x₁, y₁, …, x_n, y_n ∈ A }.

Si A est commutatif, ces trois notions coïncident et l'idéal engendré par a est noté (a).

Contre-exemples

Pour un anneau intègre A contenant un élément a non nul et non inversible, l'idéal engendré par a et Y dans l'anneau de polynômes A[Y] n'est pas principal[1].

Un exemple d'une telle situation est A = l'anneau ℤ des entiers relatifs et a = un entier différent de 0, 1 et –1, ou encore, A = B[X] pour un anneau intègre B et a = X.

Anneau principal

Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est dit anneau principal.

Par exemple, ℤ et K[X] pour un corps commutatif K sont des anneaux principaux.

Idéaux principaux particuliers

Soient A un anneau commutatif intègre et a un élément non nul de A.

• (a) est maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de A si et seulement si a est irréductible ;
• (a) est premier si et seulement si a est premier ;
• (a) est maximal si et seulement si a est extrémal.

Si A est un anneau à PGCD, les deux premières propriétés sont équivalentes. S'il est de Bézout (en particulier s'il est principal), les trois le sont.

Note

1. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Anneau » sur Wikiversité.