Radical d'un idéal

En algèbre commutative, le radical[1] (aussi appelé la racine[2]) d'un idéal I dans un anneau commutatif A est l'ensemble des éléments de A dont une puissance appartient à I.

Définition

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\{a\in A~|~\exists n\in \mathbb {N} ^{*},a^{n}\in I\}}$.

Exemple

Si A est un anneau principal, I est de la forme aA et son radical est l'idéal engendré par le produit des diviseurs irréductibles de a (chaque irréductible — à produit près par un inversible — n'apparaissant qu'une fois dans ce produit). En particulier dans ℤ, le radical d'un idéal nℤ est l'idéal engendré par le radical de l'entier n.

Propriétés

• Le radical de I est un idéal de A contenant I.
• Le radical du radical de I est le radical de I.
• Si I est un idéal primaire alors √I est un idéal premier. La réciproque est fausse[3]. Cependant, si √I est maximal alors I est primaire[4].
• Si I est propre alors son radical est l'intersection des idéaux premiers de A qui contiennent I. (En effet[5], si A/I est non nul, son nilradical est l'intersection de ses idéaux premiers.)
• Le nilradical de l'anneau A est par définition le radical de l'idéal nul.
• Si I et J sont deux idéaux de A alors :
  • le radical de I∩J est égal à l'intersection des radicaux de I et J et est aussi égal au radical de l'idéal produit IJ ;
  • le radical de l'idéal I + J contient la somme des radicaux de I et J. L'égalité n'est pas toujours vraie comme le montre l'exemple A = k[X, Y], I = XA et J = (X + Y^2)A.
• Si le radical de I est un idéal de type fini (c'est-à-dire de type fini comme sous-A-module de A), par exemple si A est noethérien, alors il existe un entier naturel n tel que x^n appartienne à I pour tout x appartenant au radical de I.

Idéal radiciel

Un idéal I d'un anneau commutatif A est dit radiciel lorsqu'il est égal à son radical. En d'autres termes, I est radiciel si et seulement si l'anneau quotient A/I est réduit. Tout idéal premier est donc radiciel.

Notes et références

1. Roger Godement, Cours d'algèbre, Hermann, 1978, 3^e éd., p. 511.
2. Daniel Perrin, Géométrie algébrique : Une introduction, EDP Sciences et CNRS Éditions, 2001 (1^re éd. 1995) (lire en ligne), p. 17.
3. Par exemple, si ${\displaystyle A=k[x,y,z]/(xy-z^{2})}$, ${\displaystyle J=({\overline {x}},{\overline {z}})}$ et ${\displaystyle I=J^{2}}$, alors ${\displaystyle {\sqrt {I}}=J}$ et ${\displaystyle J}$ est premier, mais ${\displaystyle {\overline {x}}{\overline {y}}\in I}$, ${\displaystyle {\overline {x}}\notin I}$ et ${\displaystyle {\overline {y}}\notin J}$ donc ${\displaystyle I}$ n'est pas primaire.
4. (en) Michael Atiyah et Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 (lire en ligne), p. 51, Proposition 4.2.
5. Atiyah et Macdonald 1969, p. 9.