Pfeilkategorie

Pfeilkategorien sind eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zu jeder Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ existiert die Pfeilkategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$ (oder ${\displaystyle [\mathbf {2} ,{\mathcal {C}}]}$ oder ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$), ihre Objekte sind die Morphismen aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ihre Morphismen sind kommutative Quadrate.

Konkrete Definition

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine Kategorie. Die Objekte in der Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$ sind die Morphismen aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Ein Morphismus ${\displaystyle (\varphi ,\psi )}$ zwischen den Objekten ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ in der Pfeilkategorie ist dann durch das kommutative Quadrat

gegeben, wobei die Komposition durch vertikale Verkettung dieser Diagramme erfolgt.[1]

Als Funktorkategorie

Sei ${\displaystyle \mathbf {2} }$ eine Kategorie bestehend aus zwei Objekten und einem Morphismen zwischen ihnen (angedeutet durch das Diagramm ${\displaystyle 0\to 1}$). So ist die Pfeilkategorie zu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ definiert als Funktorkategorie aller Funktoren von ${\displaystyle \mathbf {2} }$ nach ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit natürlichen Transformationen als Morphismen. Der Diagonalfunktor erlaubt eine volltreue Einbettung von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ in diese Kategorie.[2]

Als Kommakategorie

Die Pfeilkategorie lässt sich als Kommakategorie ${\displaystyle (id_{\mathcal {C}}\downarrow id_{\mathcal {C}})}$ definieren, wobei ${\displaystyle id_{\mathcal {C}}}$ den identischen Funktor auf ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ bezeichne.

Volle Unterkategorien

Oft betrachtet man auch volle Unterkategorien der Pfeilkategorie zu einer Kategorie, d. h. man beschränkt sich auf bestimmte Morphismen, welche man als Objekte auswählt. In der Topologie etwa definiert man die Kategorie der Raumpaare als die volle Unterkategorie von ${\displaystyle \mathbf {Top} ^{\mathbf {2} }}$, welche nur die Einbettungen (das sind gerade die extremen Monomorphismen) als Objekte besitzt. In Homologietheorien gemäß der Eilenberg-Steenrod-Axiome bilden die relativen Homologiefunktoren Funktoren auf dieser Kategorie der Raumpaare.

Weblinks

• arrow category, Eintrag im nLab. (englisch)

Einzelnachweise

1. Saunders Mac Lane und Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. A First Introduction to Topos Theory. Springer, New York 1992, ISBN 0-387-97710-4, S. 25. 
2. Mac Lane, Moerdijk, S. 27

V

Kategorientheorie

Einordnung	Typen von Kategorien dual | diskret | klein | lokal klein | monoidal | symmetrisch monoidal | angereichert | ausgeglichen | erreichbar | vollständig | kovollständig Typen von Objekten initial | terminal | null | injektiv | projektiv | Generator | Kogenerator | Pro | Ind | Gruppe | Monoid | exponential | frei | kompakt Typen von Morphismen Mono | Epi | Bi | Retraktion | Koretraktion | Injektive Auflösung | Projektive Auflösung Typen von Funktoren konstant | voll | treu | volltreu | additiv | exakt | abgeleitet | glatt
Konstruktionen	Limes Produkt | Differenzkern | Faserprodukt | Ende Kolimes Filtrierter Kolimes | Koprodukt | Differenzkokern | Kofaserprodukt Kan-Erweiterung | Monade | Komonade | Kategorie der Elemente | Kommakategorie | Pfeilkategorie | Homotopie-Kategorie
Resultate	Lemma von Yoneda | Fixpunktsatz von Lawvere | Einbettungssatz von Mitchell
Spezielle Funktoren	Hom-Funktor | Potenzmengenfunktor | Diagonalfunktor | Ext | Tor