সংখ্যাতত্ত্ব

সংখ্যাতত্ত্বত অধ্যয়নৰ এক কেন্দ্ৰীয় অংশ অখণ্ড সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদকবিশ্লেষণক এইটো পৃথক উলাম স্পিৰিটৰ সহায়ত দৃষ্টিগোচৰ কৰিব পাৰি।

সংখ্যাতত্ত্ব (বা পুৰণি প্ৰয়োগমতে পাটীগণিত বা উচ্চ পাটীগণিত; ইংৰাজী: Number theory) হৈছে বিশুদ্ধ গণিতৰ এটা শাখা য'ত অখণ্ড সংখ্যা আৰু অখণ্ড সংখ্যাৰ মানবিশিষ্ট ফলনৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰা হয়। জাৰ্মান গণিতজ্ঞ কাৰ্ল ফ্ৰিডৰিখ গাউছে (১৭৭৭-১৮৫৫) কৈছিল, "গণিত শাস্ত্ৰ হৈছে বিজ্ঞানৰ ৰাণী আৰু সংখ্যাতত্ত্ব হৈছে গণিত শাস্ত্ৰৰ ৰাণী"[1] সংখ্যাতত্ত্ববিদসকলে মৌলিক সংখ্যাৰ লগতে অখণ্ড সংখ্যাৰ অন্তৰ্গত বিষয়বস্তু (যেনে পৰিমেয় সংখ্যা) অথবা সৰ্বজনীনতা (যেনে বীজগণিতীয় অখণ্ড সংখ্যা)-ৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰে। সংখ্যাতত্ত্বই অখণ্ড সংখ্যা প্ৰণালীত স্পষ্ট জটিলতা থকা সত্ত্বেও ইহঁতৰ বৈশিষ্ট্যসমূহৰ অন্বেষণ কৰে।

অখণ্ড সংখ্যাসমূহ সমীকৰণৰ সমাধান (‌ডায়'ফেণ্টাইন জ্যামিতি) হিচাপেও বিবেচনা কৰা হয়। অখণ্ড সংখ্যা, মৌলিক সংখ্যা অথবা অন্য একে ধৰণৰ সাংখ্যিক-তাত্ত্বিক বিষয়(বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা-তত্ত্ব en:analytic number theory)ৰ বৈশিষ্ট্য বা গুণ নিহিত বিশ্লেষণাত্মক বিষয়বস্তুৰ (উদাহৰণস্বৰূপে ৰিমান জিটা ফলন) অধ্যয়নৰ যোগেদি সংখ্যাতত্ত্বক সহজে বুজিব পাৰি। বাস্তৱ সংখ্যাকো পৰিমেয় সংখ্যাৰ সৈতে সংগতি ৰাখি অধ্যয়ন কৰিব পৰা যায়। উদাহৰণস্বৰূপে পৰিমেয় সংখ্যাই দিয়া আসন্ন মানৰ ভিত্তিত সেয়া কৰিব পাৰি।

সংখ্যাতত্ত্বৰ পুৰণি নাম পাটীগণিত। বিংশ শতিকাৰ আৰম্ভণিত ইয়াক "সংখ্যাতত্ত্ব" নাম দিয়া হয়।[note 1] (বুনিয়াদী পাটিগণিতৰ বাবে সৰ্বসাধাৰণে পাটীগণিত শব্দটো ব্যৱহাৰ কৰিছিল; তদুপৰি ই গাণিতিক যুক্তি (Peano arithmetic) আৰু কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত (floating point arithmetic) অন্যান্য অৰ্থও বহন কৰিছে। ) সংখ্যাতত্ত্বৰ বাবে পাটিগণিত শব্দটোৰ ব্যৱহাৰ বিংশ শতিকাৰ দ্বিতীয়াৰ্দ্ধত কিছু স্থল অৰ্জন কৰিছিল।[note 2]

ইতিহাস

উৎস

পাটীগণিতৰ আৰম্ভণি

P2Password strength

বুৰঞ্জী সংক্ৰান্তিয় পাটীগণিতীক চৰিত্ৰৰ বিষয়ে এখন ভগ্ন মাটিৰ ফলক, পিম্পটন ৩২২ Plimpton 322 (Larsa, Mesopotamia, ca. 1800 BCE) ফলকৰ এটা টুকুৰাত পোৱা যায়। এই টুকুৰাত তিনিটা অখণ্ড সংখ্যা ${\displaystyle (a,b,c)}$ ৰ ক্ষেত্ৰত ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ হয় বুলি পাইথাগোৰাছ ত্ৰয়ৰ ("Pythagorean triples") বিষয়ে অন্তৰ্ভুক্ত আছে। brute force ৰে পাব পৰাকৈ ত্ৰয়সমূহ যথেষ্ট সৰহ আৰু বৃহৎ। . প্ৰথম স্তম্ভৰ শীৰ্ষতে এনেকৈ আছে, "বিয়োগ কৰি পেলোৱা কৰ্ণৰ takiltum এনে যাতে বহল...."[2]

ফলকৰ বিন্যাসে ই কি পৰিমাণৰ মাধ্যমেৰে গঠিত তাৰ আভাস দিয়ে,[3] বৰ্তমানৰ ভাষাত অভেদ-

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},}$

যি দৈনিক পুৰণি বেবিলনীয় অনুশীলনত অন্তৰ্নিহিত হৈ আছে। [4] সম্ভৱত তালিকা হিচাপে প্ৰকৃত ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ অন্য পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰিলে[5] ত্ৰয়সমূহ প্ৰথম গঠন কৰি লোৱা হৈছিল আৰু তাক${\displaystyle c/a}$ৰে পুনৰ বিন্যাস কৰা হৈছিল, উদাহৰণ স্বৰূপে, প্ৰয়োগসমূহ বিচাৰ কৰা।

এই প্ৰয়োগসমূহ কি হ'ব পাৰে অথবা ক'ত হ'ব পাৰে সেই বিষয়ে জনা নাযায়। উদাহৰণ স্বৰূপে, বেবিলনীয় জ্যোতিৰ্বিজ্ঞান (Babylonian astronomy) প্ৰকৃততে তাৰ পৰাই পিছতহে আছিল। তাৰ পৰিৱৰ্তে তালিকাখন বিদ্যালয়ৰ সমস্যাৰ সাংখ্যিক উদাহৰণৰ উৎস আছিল বুলি কোৱা হয়। [6][note 3]

ধ্ৰুপদী গ্ৰীচ আৰু প্ৰাৰম্ভিক সময়

কিছুমান খণ্ডক বাদ দি ধ্ৰুপদী গ্ৰীচৰ গণিতক সমসাময়িক অ-গণিতজ্ঞৰ প্ৰতিবেদন(কাৰ্যবিৱৰণী) অথবা প্ৰাৰম্ভিক সময়ৰ গাণিতিক কাৰ্যাৱলীৰ যোগেদি জনা যায়। [7] সংখ্যাতত্ত্বৰ ক্ষেত্ৰত সামগ্ৰিকভাবে প্লেটো আৰু ইউক্লিডৰ নাম উল্লেখ কৰিব পাৰি।

এছীয়াৰ গণিতে গ্ৰীক গণিতক প্ৰভাৱান্বিত কৰিলেও ইয়াৰ নিজস্ব ঐতিহ্য দেখা যায়।

প্লেটোৰ গণিতৰ ক্ষেত্ৰখনত প্ৰবল ৰাপ আছিল আৰু পাটীগণিত আৰু গণনাৰ মাজত স্পষ্টভাবে পাৰ্থক্য বিচাৰ কৰিছিল। প্লেটোৰ কোনোবা এটা সংলাপৰ পৰা-থিটেটাছ(Theaetetus)-আমি জানো যে থিডৰাছে (Theodorus) ${\displaystyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}}$ অপৰিমেয় বুলি প্ৰমাণ কৰিছিল। প্লেটোৰ দৰে থিটেটাছ(Theaetetus) থিডৰাছৰ এজন শিষ্য আছিল, তেওঁ বিভিন্ন ধৰণৰ তুলনাৰ অসাধ্য(incommensurables) ক্ষেত্ৰত বৈশিষ্ট্য অনুসাৰে চিহ্নিত কৰিছিল আৰু এনেকৈয়ে সংখ্যাপ্ৰণালী অধ্যয়নত তেওঁ এজন দাবীদাৰ পথ প্ৰদৰ্শক। ইউক্লিডে তেওঁৰ এলিমেণ্টৰ কিছু অংশ মৌলিক সংখ্যা আৰু বিভাজ্যতাৰ ওপৰতে উৎসৰ্গা কৰিছে, যিবিলাক বিষয় দ্বিধাহীনভাৱে সংখ্যাতত্ত্বৰ অন্তৰ্ভুক্ত আৰু ইয়াৰ প্ৰাথমিক ভিত্তি(অষ্টমৰ পৰা নৱমলৈ এলিমেণ্ট(Euclid's Elements)ৰ কিতাপসমূহ)। বিশেষকৈ দুটা সংখ্যাৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক গণনাৰ পদ্ধতি(the Euclidean algorithm; Elements, Prop. VII.2) আৰু infinitude of primesৰ প্ৰথমটো প্ৰমাণ আগবঢ়ায়। (Elements, Prop. IX.20)

ডায়ফেণ্টাছ

ডায়ফেণ্টাছৰ এৰিথমেটিকাৰ ১৬২১ সংখ্যাৰ বেটুপাত, Claude Gaspard Bachet de Méziriacৰ দ্বাৰা Latinলৈ অনূদিত.

ডায়ফেণ্টাছৰ (Diophantus of Alexandria) বিষয়ে খুউব কম জনা যায়। তেওঁ সম্ভৱত তৃতীয় শতিকাত অৰ্থৎ ইউক্লিডৰ পাঁচশ বছৰ পিছ্ত বাস কৰিছিল। ডায়ফেণ্টাছৰ তেৰখন কিতাপৰ ভিতৰত ছখন, এৰিথমেটিকা (Arithmetica) মূল গ্ৰীকত পোৱা যায়,আৰবীলৈ অনূদিত পৰ্যায়ত আন চাৰিখন গ্ৰন্থ উপলব্ধ। এৰিথমেটিকা হৈছে সাধাৰণতে ${\displaystyle f(x,y)=z^{2}}$ অথবা ${\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}$ আৰ্হিৰ বহুপদী সমীকৰণ প্ৰণালী একোটাৰ পৰিমেয় সমাধানৰ কাৰ্য সংগ্ৰহ। সেয়ে বৰ্তমান সময়ত বহুপদী সমীকৰণ বুলিলেই ডায়ফেণ্টাছ সমীকৰণৰ কথাই কোৱা হয় য'ত পৰিমেয় বা অখণ্ড সমাধান পোৱা যাবই।

আৰ্যভট্ট, ব্ৰহ্মগুপ্ত আৰু ভস্কৰাচাৰ্য

ত্ৰিকোণমিতি সূচনাৰ ক্ষেত্ৰত[8] সম্ভৱত গ্ৰীক জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানে ভাৰতীয় শিক্ষাক প্ৰভাৱান্বিত কৰিলেও ভাৰতীয় গণিত থলুৱা ঐতিহ্যপূৰ্ণ[9], বিশেষকৈ ১৮ শতিকাৰ আগত ইউক্লিডৰ Elements ভাৰতলৈ অহাৰ কোনো সাক্ষ্য প্ৰমাণ পোৱা নাযায়। [10]

ইছলামীয় সোণালী সময়ৰ পাটীগণিত

Al-Haytham seen by the West: frontispice of Selenographia, showing Alhasen {{{1}}} representing knowledge through reason, and Galileo representing knowledge through the senses.

নৱম শতিকাৰ আগভাগতেই খলিফা আলমামুনে বহুতো গ্ৰীক গণিতীয় ৰচনাৰ অনুবাদ কৰিবলৈ আদেশ দিছিল। লগতে এখন সংস্কৃত ৰচনাও(the Sindhind,which may or may not be Brahmagupta's Brāhmasphuṭasiddhānta) অনুবাদ কৰিবলৈ কৈছিল।

ডায়ফেণ্টাছৰ মূল কাৰ্য এৰিথমেটিকাক কুস্তা ইবন লুকা(Qusta ibn Luqa)(৮২০–৯১২)ই আৰবীলৈ অনুবাদ কৰে।

মধ্য যুগত পশ্চিম ইউৰোপ

মধ্যযুগত পশ্চিম ইউৰোপত ফিব'নাৎচি(Fibonacci)য়ে সমান্তৰ প্ৰগতিত বৰ্গক লৈ লিখা প্ৰবন্ধ নিৱন্ধক বাদ দি সংখ্যাতত্ত্বৰ তেনে কোনো উল্লেখনীয় অৱদানৰ বিষয়ে জনা নাযায়। ইউৰোপত চতুৰ্দশ শতিকাৰ পৰা ষোড়শ শতিকালৈ হোৱা শিল্প-সাহিত্য-বিজ্ঞানৰ পুনৰভুদ্যয়ৰ কাল(Renaissance)ত গ্ৰীক প্ৰাচীনত্বৰ কৰ্মৰাজিৰ নতুনকৈ অধ্যয়ন আৰম্ভ হোৱাটো শলাগিবলগীয়া।

প্ৰাৰম্ভিক আধুনিক সংখ্যাতত্ত্ব

ফাৰ্মা

পিয়েৰে ডি ফাৰ্মেট

পিয়েৰ দি ফাৰ্মা (Pierre de Fermat) নিজৰ লেখাসমূহ কেতিয়াও প্ৰকাশ কৰা নাছিল।

অয়লাৰ

লিঅনহাৰ্ড অয়লাৰ

লিঅনহাৰ্ড অয়লাৰ (Leonhard Euler)(১৭০৭-১৭৮৩)পোনপ্ৰথমে ১৭২৯ চনত তেখেতৰ বন্ধু এজন, অপেশাদাৰী ব্যক্তি[note 4], গল্ডবাখ(Goldbach)ৰ দ্বাৰা সংখ্যাতত্ত্বৰ প্ৰতি অনুপ্ৰাণিত হৈছিল। তেওঁ অয়লাৰক ফাৰ্মাৰ সংখ্যাতত্ত্বৰ কিছুমান কাম দৃষ্টিগোচৰ কৰাইছিল। [11][12] ইয়াকে আধুনিক সংখ্যাতত্ত্বৰ পুনৰ্জন্ম বুলি কোৱা হয়।

লাগ্ৰাঞ্জ, লিজেণ্ডাৰ আৰু গাউছ

Carl Friedrich Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, first edition

জোছেফ লুইছ লাগ্ৰাঞ্জ (Joseph-Louis Lagrange)(১৭৩৬-১৮১৩) আছিল ফাৰ্মা আৰু অয়লাৰৰ কৰ্মৰাজি আৰু পৰ্যবেক্ষণসমূহৰ সম্পূৰ্ণ প্ৰমাণ দিয়া প্ৰথমজন ব্যক্তি।

এড্ৰিন-ম্যাৰি লিজেণ্ডাৰ (Adrien-Marie Legendre) (১৭৫২-১৮৩৩) দ্বিঘাত পাৰস্পৰিকতা(quadratic reciprocity)ৰ বিধি পোনপ্ৰথমবাৰৰ বাবে বৰ্ণনা কৰিছিল।

কাৰ্ল ফ্ৰেডেৰিক গাউছ

কাৰ্ল ফ্ৰেডেৰিক গাউছ(Carl Friedrich Gauss)(১৭৭৭–১৮৫৫)এ ১৭৯৮ চনত প্ৰকাশিত তেখেতৰ ডিচকুইছটনছ্ এৰিথমেটিকা(Disquisitiones Arithmeticae)ত দ্বিঘাত পাৰস্পৰিকতা(quadratic reciprocity)ৰ বিধিৰ প্ৰমাণ আগবঢ়াইছে।

পৰিপক্বতা আৰু উপক্ষেত্ৰত বিভাজন

Ernst Kummer

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

উনৈশ শতিকাৰ আৰম্ভণিৰ পৰা হোৱা উত্তৰোত্তৰসমূহ এনেধৰণৰ-

• সংখ্যাতত্ত্ব(বা উচ্চপাটিগণিত) এক অধ্যয়নৰ বিষয় হিচাপে আত্ম সচেতনতা বৃদ্ধি হোৱা।[13]

মুখ্য উপক্ষেত্ৰসমূহ

মৌলিক আহিলা

সাধাৰণতে মৌলিক (elementary) শব্দটোৱে কোনো জটিল বিশ্লেষণ(complex analysis) ব্যৱহাৰ নোহোৱা পদ্ধতিক বুজায়। উদাহৰণ স্বৰূপে মৌলিক সংখ্যাৰ উপপাদ্য(prime number theorem)টো প্ৰথম জটিল বিশ্লেষণ ব্যৱহাৰ কৰি ১৮৯৬ চনত প্ৰমাণ কৰা হৈছিল, কিন্তু ১৯৪৯ চনতহে ইয়াৰ মৌলিক প্ৰমাণ পোৱা গৈছিল।

বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যাতত্ত্ব

আৰ্গেন সমতলত ৰিমান জিটা ফলনRiemann zeta function ζ(s)। এটা বিন্দু s ৰ ৰঙে ζ(s)ৰ মান দিয়ে:গাঢ় ৰঙে শূন্যৰ ওচৰৰ মান বুজায় আৰু ৰঙটোৱে argumentৰ মান দিয়ে।

upper half planeত modular groupৰ কাৰ্য . ধূসৰ বৰণীয়া অঞ্চলটো standard fundamental domain.

বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যাতত্ত্বক এনেদৰে সংজ্ঞাবদ্ধ কৰিব পাৰি

• ইয়াৰ আহিলাসমূহৰ মাধ্যমেৰে, বাস্তৱ আৰু কাল্পনিক বিশ্লেষণৰ দ্বাৰা অখণ্ড সংখ্যাৰ অধ্যয়ন[14]

বীজগাণিতিক সংখ্যাতত্ত্ব

বীজগণিতীয় সংখ্যা হৈছে যি পৰিমেয় সহগযুক্ত কিছুমান বহুপদ সমীকৰণৰ,${\displaystyle f(x)=0}$ সমাধান হিচাপে পোৱা যিকোনো জটিল সংখ্যা। উদাহৰণ স্বৰূপে ${\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$ ৰ ${\displaystyle x}$ হৈছে এটা বীজগণিতীয় সংখ্যা। বীজগণিতীয় সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰখনক বীজগণিতীয় সংখ্যাক্ষেত্ৰ বা চমুকৈ সংখ্যাক্ষেত্ৰ বুলি কোৱা হয়। বীজগণিতীয় সংখ্যা তত্ত্ব ই বীজগণিতীয় সংখ্যাক্ষেত্ৰকে অধ্যয়ন কৰে। [15] বিশ্লেষণাত্মক আৰু বীজগণিতীয় সংখ্যাতত্ত্ব ভাগ দুটা খেলিমেলি নহ'বৰ বাবে এইটো মনত ৰাখিব লাগে যে প্ৰথমটো ইয়াৰ পদ্ধতি আৰু দ্বিতীয়টো ইয়াৰ অধ্যয়নৰ বিষয়বস্তুৰ লগত জড়িত।

ডায়ফেণ্টাইন জ্যামিতি

ডায়ফেণ্টাইন জ্যামিতিৰ প্ৰধান সমস্যা হৈছে ডায়ফেণ্টাইন সমীকৰণৰ সমাধান কেতিয়া থাকে তাক নিৰ্ণয় কৰাটো আৰু যদি থাকে কিমান থাকিব। এটা সমীকৰণক জ্যামিতিৰ বিষয়বস্তু হিচাপে লৈ তাৰ সমাধান নিৰ্ণয়ৰ চিন্তা কৰিব লাগে।

অন্যান্য উপক্ষেত্ৰসমূহ

তলত বৰ্ণোৱা ক্ষেত্ৰসমূহ বিংশ শতিকাৰ মধ্যভাগতকৈ পুৰণি নহয়, যদিও সেইসমূহ প্ৰাচীন বিষয়বস্তুৰ ওপৰতে আধাৰিত।

সম্ভাৱনীয় সংখ্যাতত্ত্ব

সম্ভাৱনীয় সংখ্যাতত্ত্বক প্ৰায় পাৰস্পৰিক স্বতন্ত্ৰ চলকসমূহৰ অধ্যয়নৰ বিশেষ ভাগ হিচাপে দেখা যায়।

পাটীগাণিতীক সংযুক্তকাৰিতা

প্ৰয়োগসমূহ

সংখ্যাতত্ত্ববিদ লিঅনাৰ্ড ডিকছনে(Leonard Dickson)(১৮৭৪–১৯৫৪)কৈছিল,"ভগবানক ধন্যবাদ যে কোনো প্ৰয়োগেই সংখ্যাতত্ত্বৰ সুনাম নষ্ট নকৰে। " সংখ্যাতত্ত্বত এনে দৰ্শন প্ৰযোয্য নহয়।[16]

বঁটাসমূহ

আমেৰিকান গাণিতিক সমিতি(American Mathematical Society)এ সংখ্যাতত্ত্বত ক'ল বঁটা (Cole Prize in Number Theory)। তদুপৰি ফাৰ্মা বঁটা (Fermat Prize) আগবঢ়োৱা গণিতৰ তিনি অধ্যয়নক্ষেত্ৰৰ এখন হৈছে সংখ্যাতত্ত্ব।

টোকা

1. Already in 1921, T. L. Heath had to explain: "By arithmetic, Plato meant, not arithmetic in our sense, but the science which considers numbers in themselves, in other words, what we mean by the Theory of Numbers." (Heath 1921, পৃষ্ঠা 13)
2. Take, for example, Serre 1973. In 1952, Davenport still had to specify that he meant The Higher Arithmetic. Hardy and Wright wrote in the introduction to An Introduction to the Theory of Numbers (1938): "We proposed at one time to change [the title] to An introduction to arithmetic, a more novel and in some ways a more appropriate title; but it was pointed out that this might lead to misunderstandings about the content of the book." (Hardy & Wright 2008)
3. Robson 2001, পৃষ্ঠা 201. This is controversial. See Plimpton 322. Robson's article is written polemically (Robson 2001, পৃষ্ঠা 202) with a view to "perhaps [...] knocking [Plimpton 322] off its pedestal" (Robson 2001, পৃষ্ঠা 167); at the same time, it settles to the conclusion that
4. Up to the second half of the seventeenth century, academic positions were very rare, and most mathematicians and scientists earned their living in some other way (Weil 1984, পৃষ্ঠা 159, 161). (There were already some recognisable features of professional practice, viz., seeking correspondents, visiting foreign colleagues, building private libraries (Weil 1984, পৃষ্ঠা 160–61). Matters started to shift in the late 17th century (Weil 1984, পৃষ্ঠা 161); scientific academies were founded in England (the Royal Society, 1662) and France (the Académie des sciences, 1666) and Russia (1724). Euler was offered a position at this last one in 1726; he accepted, arriving in St. Petersburg in 1727 (Weil 1984, পৃষ্ঠা 163 and Varadarajan 2006, পৃষ্ঠা 7).In this context, the term amateur usually applied to Goldbach is well-defined and makes some sense: he has been described as a man of letters who earned a living as a spy (Truesdell 1984, পৃষ্ঠা xv); cited in Varadarajan 2006, পৃষ্ঠা 9). Notice, however, that Goldbach published some works on mathematics and sometimes held academic positions.

তথ্যউৎস

1. Long 1972, পৃষ্ঠা. 1.
2. Neugebauer & Sachs 1945, পৃষ্ঠা 40। The term takiltum is problematic. Robson prefers the rendering "The holding-square of the diagonal from which 1 is torn out, so that the short side comes up...".Robson 2001, পৃষ্ঠা 192
3. Robson 2001, পৃষ্ঠা 189. Other sources give the modern formula ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})}$. Van der Waerden gives both the modern formula and what amounts to the form preferred by Robson.(van der Waerden 1961, পৃষ্ঠা 79)
4. van der Waerden 1961, পৃষ্ঠা. 184.
5. Neugebauer (Neugebauer 1969, পৃষ্ঠা 36–40) discusses the table in detail and mentions in passing Euclid's method in modern notation (Neugebauer 1969, পৃষ্ঠা 39).
6. Friberg 1981, পৃষ্ঠা. 302.
7. Boyer & Merzbach 1991, পৃষ্ঠা. 82.
8. Plofker 2008, পৃষ্ঠা. 119.
9. Any early contact between Babylonian and Indian mathematics remains conjectural (Plofker 2008, পৃষ্ঠা 42).
10. Mumford 2010, পৃষ্ঠা. 387.
11. Weil 1984, পৃষ্ঠা. 2, 172.
12. Varadarajan 2006, পৃষ্ঠা. 9.
13. See the discussion in section 5 of Goldstein & Schappacher 2007. Early signs of self-consciousness are present already in letters by Fermat: thus his remarks on what number theory is, and how "Diophantus's work [...] does not really belong to [it]" (quoted in Weil 1984, পৃষ্ঠা 25).
14. Apostol 1976, পৃষ্ঠা. 7.
15. Milne 2017, পৃষ্ঠা. 2.
16. "The Unreasonable Effectiveness of Number Theory", Stefan Andrus Burr, George E. Andrews, American Mathematical Soc., 1992, আই.এচ.বি.এন. 978-0-8218-5501-0