قنطرة ويتستون

قنطرة ويتستون هي قنطرة كهربية لقياس المقاومات، اخترعها الإنجليزي صمويل كريستي عام 1833 وحسنها وأكملها شارلز وهيتستون عام 1843 .[1] وتـُجري عملية قياس المقاومة الكهربية المجهولة بعد تركيبها في دائرة كهربائية ذات فرعين (قنطرة) ثم موازنة التيار فيهما. وهي تعمل مثلما يعمل مقياس الجهد potentiometer ، مع الفرق أن في دائرة مقياس الجهد يستعمل جلفانومتر حساس.

قنطرة وهيتستون وفيها المقاومة المجهولة Rx.

طريقة القياس

في الشكل المجاور تمثل المقاومة الكهربية Rx المقاومة المجهولة والمطلوب تعيينها .المقاومات ${\displaystyle R_{1}}$ و${\displaystyle R_{2}}$ و ${\displaystyle R_{3}}$ معروفين ، في حين أن المقاومة ${\displaystyle R_{2}}$ قابلة للتغيير . فإذا تساوت نسبة المقاومتين الموجودتين في الفرع المعروف ${\displaystyle (R_{2}/R_{1})}$ مع نسبة المقاومتين في الفرع الغير معروف ${\displaystyle (R_{x}/R_{3})}$ يصبح فرق الجهد بين النقطتين B و D صفرا ولا يمر تيار كهربائي في الجلفانومتر ${\displaystyle V_{g}}$. لذلك نغير المقاومة المتغيرة ${\displaystyle R_{2}}$ حتي نحصل على حالة الاتزان . وتوضح قراءة الجلفانومتر عما إذا كانت المقاومة ${\displaystyle R_{2}}$ كبيرة أم صغيرة.

ويمكن قراءة الجلفانومتر بدقة عالية . فإذا كانت المقاومات ${\displaystyle R_{1}}$ و ${\displaystyle R_{2}}$ و ${\displaystyle R_{3}}$ معروفة بدقة عالية ، أصبح من الممكن تعيين المقاومة المجهولة ${\displaystyle R_{x}}$ أيضا بدقة عالية.

عند الوصول إلى حالة التوازن ، تنطبق المعادلة :

${\displaystyle R_{2}/R_{1}=R_{x}/R_{3}}$

وبناء على ذلك يكون:

${\displaystyle R_{x}=(R_{2}/R_{1})\cdot R_{3}}$

وهناك حالة تكون فيها قيم المقاومات ${\displaystyle R_{1}}$ و ${\displaystyle R_{2}}$ و ${\displaystyle R_{3}}$ معروفة من دون أن تكون المقاومة ${\displaystyle R_{2}}$ قابلة للتغيير . في هذه الحالة نستطيع أن نستعمل قراءة فرق الجهد على مقياس الجهد ${\displaystyle V_{g}}$ أو شدة التيار المار فيه لتعيين المقاومة ${\displaystyle R_{x}}$ باستخدام قانون كيرشوف .

استنباط معادلة قنطرة وهيتستون

نستخدم القاعدة الأولى من قانون كيرشوف للجهد للحصول على شدة التيار في النقطتين B و D:

${\displaystyle I_{3}\ -I_{x}\ +I_{g}=0}$

${\displaystyle I_{1}\ -I_{2}\ -I_{g}=0}$

ثم نستخدم القاعدة الثانية لقانون كيرشوف للحصول على فرق الجهد في جزئي الدائرة ABD و BCD:

${\displaystyle (I_{3}\cdot R_{3})-(I_{g}\cdot R_{g})-(I_{1}\cdot R_{1})=0}$

${\displaystyle (I_{x}\cdot R_{x})-(I_{2}\cdot R_{2})+(I_{g}\cdot R_{g})=0}$

نوازن القنطرة بحيث يكون ${\displaystyle I_{g}=0}$ ، بذلك يمكننا صياغة المعادلتين الأخيرتين بالطريقة الآتية :

${\displaystyle I_{3}\cdot R_{3}=I_{1}\cdot R_{1}}$

${\displaystyle I_{x}\cdot R_{x}=I_{2}\cdot R_{2}}$

بقسمة المعادلتين على بعضهما وعزل Rx على الجانب الأيسر ، نحصل على الصيغة التالية :

${\displaystyle R_{x}={{R_{2}\cdot I_{2}\cdot I_{3}\cdot R_{3}} \over {R_{1}\cdot I_{1}\cdot I_{x}}}}$

نعرف من القاعدة الأولى لكيرشوف أن ${\displaystyle I_{3}=I_{x}}$ و ${\displaystyle I_{1}=I_{2}}$ ، ويمكن حساب المقاومة المجهولة بواسطة المعادلة:

${\displaystyle R_{x}={{R_{3}\cdot R_{2}} \over {R_{1}}}}$

أصبحت الآن قيم الأربعة مقاومات معروفة وكذلك جهد المصدر ${\displaystyle V_{S}}$ . ويمكن تعيين فرق الجهد عبر القنطرة ${\displaystyle V_{G}}$ عن طريق تعيين جهد عند النقطتين B و D وطرح قيمتيهما . فتنطبق المعادلة :

${\displaystyle V_{G}={{R_{x}} \over {R_{3}+R_{x}}}V_{s}-{{R_{2}} \over {R_{1}+R_{2}}}V_{s}}$

ويمكن تبسيط تلك المعادلة لتصبح:

${\displaystyle V_{G}=\left({{R_{x}} \over {R_{3}+R_{x}}}-{{R_{2}} \over {R_{1}+R_{2}}}\right)V_{s}}$

مراجع

1. video نسخة محفوظة 7 سبتمبر 2019 على موقع واي باك مشين.

انظر أيضا

• دارة التوالي أو التوازي