ظل الزاوية (بالإنجليزية : Tangent of an angle ) هو أحد الدوال المثلثية الأساسية والذي يرمز له بـ tan أو tg باللاتينية أو ظا بالعربية،[ 1] [ 2] الجيب إلى جيب التمام لنفس الزاوية، أي قسمة طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور للزاوية في المثلث القائم .
إذا نظرنا إلى الصورة أعلاه (وهي صورة لدائرة واحدية )، نرى أن المثلثات OAB و OCD مماثلة،
لذلك يكون تعريف ظل الزاوية x (س):
tan
x
=
D
C
O
C
{\displaystyle \tan x={\frac {DC}{OC}}}
ظا (س)= :
D
C
O
C
{\displaystyle {\frac {DC}{OC}}}
وكذلك :
tan
x
=
A
B
O
A
{\displaystyle \tan x={\frac {AB}{OA}}}
ظا (س)= :
A
B
O
A
{\displaystyle {\frac {AB}{OA}}}
بالتالي يكون:
A
B
O
A
=
D
C
O
C
{\displaystyle {\frac {AB}{OA}}={\frac {DC}{OC}}}
الذي ينطوي على العلاقة الأساسية بين الظل و الجيب sin x و جيب التمام cos x العلاقة :
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle \tan x=\,{\frac {\sin x}{\cos x}}}
ظا(س)= جا س / جتا س
طالع دوال مثلثية
حساب الظل في مثلث قائم:
ظل الزاوية = طول الضلع المقابل / طول الضلع المجاور كما أن :
ظل الزاوية ب = جيب الزاوية ب / جيب تمام الزاوية ب
مثال :
طول المقابل [أج] = 15 سنتيمتر
طول المجاور [أب] = 5 سنتيمتر فيكون ظل الزاوية ب :
المقابل [أج] / المجاور [أب] 15 / 5
tan
0
=
tan
0
∘
=
0
{\displaystyle \tan 0=\tan 0^{\circ }=0}
tan
π
6
=
tan
30
∘
=
3
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}}
tan
π
4
=
tan
45
∘
=
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1}
tan
π
3
=
tan
60
∘
=
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}}
tan
π
2
=
tan
90
∘
=
∞
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{2}}=\tan 90^{\circ }=\infty }
tan
3
π
4
=
tan
135
∘
=
−
1
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{4}}=\tan 135^{\circ }=-1}
tan
π
=
tan
180
∘
=
0
{\displaystyle \tan \pi =\tan 180^{\circ }=0}
tan
3
π
2
=
tan
270
∘
=
∞
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{2}}=\tan 270^{\circ }=\infty }
طبقا للمعادلة أعلاه يكون :
A
B
O
A
=
D
C
O
C
{\displaystyle {\frac {AB}{OA}}={\frac {DC}{OC}}}
أي أن:
A
B
240
=
5
8
{\displaystyle {\frac {AB}{240}}={\frac {5}{8}}}
ومنها ينتج أرتفاع ناطحة السحاب AB :
متر
A
B
=
150
{\displaystyle \ AB=\ {150}}
ولانحتاج لقياس ناطحة السحاب للصعود والنزول وقياسها بالمتر في يدنا، بل يكفي معرفة قانون ظل الزاوية وبعض الأبعاد السهلة التعيين لتعيين ارتفاع ناطحة السحاب .
صورة متحركة لرسم منحنى دالة الظل باستخدام دائرة الوحدة .
دالة الظل هي دالة حقيقية:
دورية ، دورتها
π
{\displaystyle \pi }
tan
(
x
+
π
)
=
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(x+\pi )=\tan(x)}
فردية ، حيث:
tan
(
−
x
)
=
−
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)}
تقبل خطوط مقاربة عمودية عند القيم
x
=
π
2
+
k
π
{\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+k\pi }
lim
x
→
(
π
/
2
)
−
tan
x
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to (\pi /2)^{-}}\tan x=+\infty }
lim
x
→
(
π
/
2
)
+
tan
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to (\pi /2)^{+}}\tan x=-\infty }
مشتقها :
tan
′
x
=
1
cos
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \tan 'x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}
مشتقها العكسي :
∫
tan
(
x
)
d
x
=
−
ln
|
cos
(
x
)
|
{\displaystyle \int \tan(x)dx=-\ln |\cos(x)|}
ln
|
sec
(
x
)
|
{\displaystyle \ln |\sec(x)|}
sec
x
{\displaystyle \sec x}
دالة القاطع .بتطبيق صيغة أويلر :
tan
θ
=
sin
θ
cos
θ
=
e
i
θ
−
e
−
i
θ
2
i
e
i
θ
+
e
−
i
θ
2
=
e
i
θ
−
e
−
i
θ
i
(
e
i
θ
+
e
−
i
θ
)
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta } \over 2i}{e^{i\theta }+e^{-i\theta } \over 2}}={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}}
حيث
i
{\displaystyle i}
الوحدة التخيلية التي مربعها يساوي
−
1
{\displaystyle -1}
دالتها العكسية على المجال
]
−
π
2
,
π
2
[
{\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}
قوس ظل الزاوية ويرمز لها بـ
arctan
x
{\displaystyle \arctan x}
مقلوب الدالة هو دالة ظل التمام ويرمز لها بـ
cot
(
x
)
{\displaystyle \cot(x)}
cot
x
=
1
tan
x
=
cos
x
sin
x
{\displaystyle \cot x={\frac {1}{\tan x}}={\frac {\cos x}{\sin x}}}
يمكن التعبير عن ظل الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري - بواسطة متسلسلة تايلور التالية:
tan
x
=
∑
n
=
0
∞
U
2
n
+
1
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
⋯
,
for
|
x
|
<
π
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}
حيث
B
n
{\displaystyle B_{n}}
عدد بيرنولي و
U
n
{\displaystyle U_{n}}
عدد Up/down .
تحسب قيم الدالة بواسطة المتسلسلة، ولكن بدلاً من استخدام النشر المحدود بواسطة متسلسلة تايلور، التي تستخدم العديد من العمليات، يحبذ استعمال خوارزمية CORDIC .
لمعانٍ أخرى، طالع ظل (توضيح).
![{\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b123273d134ae0a355186bca3947bf36996ceb)
