قاطع (حساب المثلثات)

  لمعانٍ أخرى، طالع قاطع (توضيح).

القاطع
تمثيل دالة القاطع في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
تدوين	${\displaystyle {\sec(x)}}$
تعريف الدالة	${\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}}$
دالة عكسية	${\displaystyle {\operatorname {arcsec}(x)}}$
مشتق الدالة	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {sin} \,x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x}$$ [1]
مشتق عكسي (تكامل)	${\displaystyle {\begin{aligned}{\ln |\sec(x)+\tan(x)|}\\=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|\end{aligned}}}$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	زوجية
مجال الدالة	${\displaystyle \mathbb {R} -\left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right\}}$
المجال المقابل	${\displaystyle ]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [}$
دورة الدالة	2π
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	1
القيمة/النهاية عند ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$	على اليمين: -∞ على اليسار: +∞
القيمة/النهاية عند ${\displaystyle x=-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$	على اليمين: +∞ على اليسار: -∞
خطوط مقاربة	${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+k\pi }$
نقاط حرجة	${\displaystyle k\pi }$
ملاحظات	${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
تعديل مصدري - تعديل

في حساب المثلثات والتحليل الرياضي، دالة قاطع الزاوية أو دالة القاطع[2] (بالإنجليزية: Secant)‏، سميّت سابقًا بقُطْر الظِّل، هي إحدى الدوال المثلثية التي تتبع قيمة زاوية، يرمز لها بـ ${\displaystyle {\sec(x)}}$، ويمثل القاطع مقلوب قيمة جيب التمام أي ${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$. [3] أي أنه إذا كانت لدينا زاوية ضمن مثلث قائم فإن قاطع هذه الزاوية يساوي نسبة طول الوتر إلى الضلع المجاور للزاوية.

إن القاطع هو دالة مثلثية فرعية نسبية إلى كون الدوال الرئيسية المعروفة هي الجيب وجيب التمام والظل.

يمكن التعبير عن قاطع زاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

حيث ${\displaystyle E_{n}}$ هو عدد أويلر و ${\displaystyle U_{n}}$ هو عدد Up/down.

اشتقاق

مشتق الدالة هو:[1] $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec x={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin \,x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin \,x}{\cos x}}=\sec x\cdot \tan x.}$$

تكامل

تكامل الدالة لها ثلاثة أشكال متكافئة:

${\displaystyle \int \sec x\,dx=\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C\\[15pt]\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\end{array}}\right\}{\text{ (equivalent forms)}}}$

مراجع

1. Derivative Trig Functions نسخة محفوظة 8 يونيو 2019 على موقع واي باك مشين.
2. المعجم الموحد لمصطلحات الرياضيات والفلك: (إنجليزي - فرنسي - عربي)، سلسلة المعاجم الموحدة (3) (بالعربية والإنجليزية والفرنسية)، تونس: مكتب تنسيق التعريب، 1990، OCLC:4769958475، QID:Q114600477
3. Wolfram MathWorld - Secant نسخة محفوظة 23 ديسمبر 2019 على موقع واي باك مشين.

انظر أيضًا

• قاطع التمام
• ظل التمام
• جيب التمام
• جيب الزاوية
• ظل الزاوية
• القاطع الخارجي