Limit sepihak

Fungsi ${\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sgn}(x)}$ (dengan sgn merupakan fungsi signum atau fungsi tanda) yang mempunyai limit kiri dari ${\displaystyle -1}$, limit kanan dari ${\displaystyle +1}$, dan sebuah nilai fungsi dari ${\displaystyle 0}$ di titik ${\displaystyle x=0}$.

Dalam kalkulus, limit sepihak adalah limit yang mengacu pada dua limit fungsi ${\displaystyle f(x)}$ dari variabel bilangan real ${\displaystyle x}$, ketika ${\displaystyle x}$ mendekati titik tertentu baik dari kiri atau dari kanan.

Limit sebagai ${\displaystyle x}$ menurun di nilai yang mendekati ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle x}$ mendekati ${\displaystyle a}$ "dari kanan" atau "dari atas") dapat dilambangkan:

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)}$ atau ${\displaystyle \lim _{x\downarrow a}\,f(x)}$ atau ${\displaystyle \lim _{x\searrow a}\,f(x)}$ atau ${\displaystyle \lim _{x{\underset {>}{\longrightarrow }}a}f(x)}$

Limit dari ${\displaystyle x}$ menaik di nilai yang mendekati ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle x}$ mendekati ${\displaystyle a}$ "dari kiri" atau "dari bawah") dapat dilambangkan:

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)}$ atau ${\displaystyle \lim _{x\uparrow a}\,f(x)}$ atau ${\displaystyle \lim _{x\nearrow a}\,f(x)}$ atau ${\displaystyle \lim _{x{\underset {<}{\longrightarrow }}a}f(x)}$

jika limit ${\displaystyle f(x)}$ ketika ${\displaystyle x}$ mendekati ${\displaystyle a}$ ada, maka limi dari sebelah kiri dan dari sebelah kanan juga ada. Pada beberapa kasus, dua limit sepihak tetap ada jika limit ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\,}$tidak ada. Akibatnya, limit dari nilai ${\displaystyle x}$ mendekati pada nilai ${\displaystyle a}$ terkadang disebut "dua sisi limit".^[butuh rujukan]

Definisi

Pada beberapa kasus, salah satu dari dua limit sepihak ada dan yang lainnya tidak, dan dalam beberapa kasus tidak ada. Limit sebelah kanan dapat didefinisikan dengan cermat sebagai

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I,\quad 0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }$,

dan limit sebelah kiri dapat didefinisikan dengan cermat sebagai

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I,\quad 0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }$,

dengan ${\displaystyle I}$ mewakili suatu selang yang ada di ranah pada nilai ${\displaystyle f}$.

Hubungan dengan definisi topologis limit

Limit sepihak ke sebuah titik ${\displaystyle p}$ berpadanan dengan definisi limit umum, dengan ranah fungsi terbatas ke satu sisi, dengan memungkinkan bahwa ranah fungsinya adalah himpunan bagian dari ruang topologis, atau dengan menganggap sebuah subruang sepihak, termasuk ${\displaystyle p}$. Secara bergantian, salah satunya dapat menganggap ranahnya dengan sebuah topologi selang setengah terbuka..

Lihat pula

• Garis real diperluas dengan projektif
• Semi-keterdiferensialan
• Limit atas dan limit bawah