Pengali Lagrange

Pengali Lagrange adalah metode untuk mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Metode ini dinamai dari matematikawan Prancis-Italia Joseph-Louis Lagrange.[1]

Apabila hanya ada satu batasan dan dua pilihan variabel, pertimbangkan permasalahan optimisasi berikut:

maksimisasi f(x, y)

bergantung pada g(x, y) = 0.

Diasumsikan bahwa f dan g memiliki turunan parsial pertama. Kemudian ditambahkan variabel baru (λ) yang disebut "pengali Lagrange", dan fungsi Lagrange didefinisikan sebagai berikut:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y),}$

λ dapat ditambahkan atau dikurangi. Jika f(x₀, y₀) adalah nilai maksimum f(x, y), maka terdapat λ₀ sehingga (x₀, y₀, λ₀) adalah titik stasioner untuk fungsi Lagrange. (titik stasioner adalah titik engan turunan parsial ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ yang bernilai nol). Namun, tidak semua titik stasioner menghasilkan solusi untuk permasalahan awalnya. Maka dari itu, metode pengali Lagrange menghasilkan kondisi yang diperlukan untuk optimalitas dalam permasalahan yang terbatasi.[2][3][4][5][6]

Untuk kasus umum dengan jumlah n (variabel) yang sembarang dan jumlah M (batasan) yang sembarang, bentuk Lagrangenya adalah:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{M}\right)=f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)-\sum \limits _{k=1}^{M}{\lambda _{k}g_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)},}$

sekali lagi optimum f yang terbatasi sama dengan titik stasioner ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$

Catatan kaki

1. Mécanique Analytique sect. IV, 2 vols. Paris, 1811 https://archive.org/details/mcaniqueanalyt01lagr
2. Bertsekas, Dimitri P. (1999). Nonlinear Programming (edisi ke-Second). Cambridge, MA.: Athena Scientific. ISBN 1-886529-00-0. 
3. Vapnyarskii, I.B. (2001) [1994], "Lagrange multipliers", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 .
4. • Lasdon, Leon S. (1970). Optimization theory for large systems. Macmillan series in operations research. New York: The Macmillan Company. hlm. xi+523. MR 0337317. 
   • Lasdon, Leon S. (2002). Optimization theory for large systems (edisi ke-reprint of the 1970 Macmillan). Mineola, New York: Dover Publications, Inc. hlm. xiii+523. MR 1888251. 
5. Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (1993). "XII Abstract duality for practitioners". Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 306. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 136–193 (and Bibliographical comments on pp. 334–335). ISBN 3-540-56852-2. MR 1295240. 
6. Lemaréchal, Claude (2001). "Lagrangian relaxation". Dalam Michael Jünger and Denis Naddef. Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May 15–19, 2000. Lecture Notes in Computer Science. 2241. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 112–156. doi:10.1007/3-540-45586-8_4. ISBN 3-540-42877-1. MR 1900016.