Turunan kedua

Dalam kalkulus, turunan kedua (bahasa Inggris: second derivative atau second order derivative) dari suatu fungsi f adalah turunan atau derivatif dari turunan f. Dalam garis besar, dikatakan bahwa turunan kedua mengukur bagaimana laju perubahan suatu kuantitas itu sendiri berubah; misalnya, turunan kedua dari posisi suatu benda terhadap waktu adalah percepatan sesaat benda, atau laju perubahan kecepatan benda. Dalam notasi Leibniz:

${\displaystyle a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}$,

dimana a adalah percepatan, v adalah kecepatan, x adalah posisi, dan d adalah perubahan atau selisih sesaat. Bentuk terakhir ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ merupakan turunan kedua dari posisi (x) terhadap waktu.

Pada grafik fungsi, turunan kedua bersangkutan dengan kelengkungan atau kecekungan grafik. Grafik suatu fungsi dengan turunan kedua positif melengkung ke atas, sementara grafik suatu fungsi dengan turunan kedua negatif melengkung ke bawah.

Turunan pertama dari aturan pangkat, jika diturunkan dua kali, akan menghasilkan turunan kedua dari aturan pangkat sebagai berikut.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}[x^{n}]=n(n-1)x^{(n-2)}=(n^{2}-n)x^{(n-2)}}$.

Turunan kedua suatu fungsi ${\displaystyle f(x)\!}$ biasanya diberi lambang ${\displaystyle f''(x)\!}$. Yaitu:

${\displaystyle f''=(f')'\!}$

Jika menggunakan Notasi Leibniz untuk turunan, turunan kedua dari variabel dependent y terhadap suatu variabel independent x ditulis

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

Notasi ini diturunkan dari formula berikut:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (edisi ke-8th), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5 
• Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 1 (edisi ke-2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 
• Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, 1 (edisi ke-2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5 
• Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (edisi ke-6th), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4 
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (edisi ke-4th), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5 
• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (edisi ke-3rd), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8 
• Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (edisi ke-5th), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7 
• Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (edisi ke-Revised, Updated, Expanded), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0 
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-564-5.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus 
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus 
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus 
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals 
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, diarsipkan dari versi asli tanggal 2006-04-15, diakses tanggal 2014-12-15 
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations 
• Strang, Gilbert (1991), Calculus 
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, diarsipkan dari versi asli tanggal 2005-09-11, diakses tanggal 2014-12-15 
• Wikibooks, Calculus 

• Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points