Integral permukaan

Dalam matematika, Permukaan integral adalah generalisasi dari beberapa integral untuk integrasi di atas permukaan. Ini dapat dianggap sebagai analog integral lipat dari integral garis . Dengan adanya suatu permukaan, seseorang dapat mengintegralkan bidang skalar (yaitu, fungsi posisi yang mengembalikan skalar sebagai nilai) di atas permukaan, atau bidang vektor (yaitu, fungsi yang mengembalikan vektor sebagai nilai). Jika suatu daerah R tidak datar, maka itu disebut permukaan seperti yang diperlihatkan dalam ilustrasi.

Permukaan integral memiliki aplikasi dalam fisika, khususnya dalam teori elektromagnetisme klasik.

Untuk menemukan rumus eksplisit untuk integral permukaan di atas permukaan S, kita perlu membuat parameter S dengan menentukan sistem koordinat lengkung pada S, seperti lintang dan bujur pada bola . Biarkan parameterisasi seperti itu menjadi x ( s, t ), di mana ( s, t ) bervariasi di beberapa daerah T di bidang . Kemudian, integral permukaan diberikan oleh ^[1][2]

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

di mana ekspresi antara bar di sisi kanan adalah besarnya dari produk silang dari turunan parsial dari x (s, t), dan dikenal sebagai permukaan elemen . Integral permukaan juga dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

dimana g adalah determinan bentuk fundamental pertama dari pemetaan permukaan x ( s, t ).^[3][4]

Contohnya, jika kita ingin mencari luas permukaan grafik dari beberapa fungsi skalar, katakanlah ${\displaystyle z=f\,(x,y)}$, kita punya

${\displaystyle L=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

rumus di atas adalah ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}$ . Yang seperti itu ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$, dan ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$ . Jika

${\displaystyle {\begin{aligned}L&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

Berikut salah satu merupakan rumus standar untuk luas permukaan yang dijelaskan dengan cara ini. Seseorang dapat mengenali vektor pada baris kedua terakhir di atas sebagai vektor normal ke permukaan.

Perhatikan, bahwa karena adanya perkalian silang, rumus di atas hanya berfungsi untuk permukaan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi.

Hal ini dapat dilihat sebagai integrasi bentuk volume Riemannian pada permukaan berparameter, di mana tensor metrik diberikan oleh bentuk dasar pertama permukaan.

A curved surface ${\displaystyle S}$ with a vector field ${\displaystyle \mathbf {F} }$ passing through it. The red arrows (vectors) represent the magnitude and direction of the field at various points on the surface

Surface divided into small patches ${\displaystyle dS=dudv}$ by a parameterization of the surface

The flux through each patch is equal to the normal (perpendicular) component of the field ${\displaystyle F_{n}(\mathbf {x} )=F(\mathbf {x} )\cos \theta }$ at the patch's location ${\displaystyle \mathbf {x} }$ multiplied by the area ${\displaystyle dS}$. The normal component is equal to the dot product of ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$ with the unit normal vector ${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} )}$ (blue arrows)

The total flux through the surface is found by adding up ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;dS}$ for each patch. In the limit as the patches become infinitesimally small, this is the surface integral
${\displaystyle \int _{S}\mathbf {F\cdot n} \;dS}$

Pertimbangkan bidang vektor v pada permukaan S, yaitu untuk setiap x dalam S, v (x) adalah vektor.

Integral permukaan dapat didefinisikan secara komponen sesuai dengan definisi integral permukaan dari suatu bidang skalar; hasilnya adalah vektor. Ini berlaku misalnya dalam ekspresi medan listrik di beberapa titik tetap karena permukaan bermuatan listrik, atau gravitasi di beberapa titik tetap karena selembar material.

Alternatifnya, jika kita mengintegrasikan komponen normal bidang vektor di atas permukaan, hasilnya adalah skalar, biasanya disebut fluks yang melewati permukaan. Bayangkan kita memiliki fluida yang mengalir melalui S, sehingga v (x) menentukan kecepatan fluida di x. Fluks didefinisikan sebagai jumlah fluida yang mengalir melalui S per satuan waktu.

Ilustrasi ini menyiratkan bahwa jika bidang vektor tangen ke S di setiap titik, maka fluksnya nol karena fluida hanya mengalir di paralel ke S, dan tidak masuk maupun keluar. Ini juga menyiratkan bahwa jika 'v' tidak hanya mengalir di sepanjang S, yaitu, jika v memiliki komponen tangensial dan normal, maka hanya komponen normal yang berkontribusi fluks. Berdasarkan alasan ini, untuk mencari fluks, kita perlu mengambil perkalian titik dari v dengan satuan permukaan normal n menjadi S di setiap titik, yang akan memberi kita bidang skalar, dan mengintegrasikan bidang yang diperoleh seperti di atas. Kami menemukan rumusnya

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {S} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} S\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot {\left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right) \over \left\|\left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\right\|}\right)\left\|\left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

Perkalian silang di sisi kanan ekspresi ini adalah permukaan normal (tidak harus unital) yang ditentukan oleh parametrisasi.

Rumus ini mendefinisikan integral di sebelah kiri (perhatikan titik dan notasi vektor untuk elemen permukaan).

Kami juga dapat menafsirkan ini sebagai kasus khusus untuk mengintegrasikan 2 bentuk, di mana kami mengidentifikasi bidang vektor dengan 1 bentuk, dan kemudian mengintegrasikan Hodge dual di atas permukaan. Ini sama dengan mengintegrasikan ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \rangle \;\mathrm {d} S}$ di atas permukaan yang terbenam, di mana ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ adalah bentuk volume yang diinduksi pada permukaan, diperoleh dengan perkalian interior dari metrik Riemannian dari ruang ambien dengan normal luar permukaan.

Bila

${\displaystyle f=f_{z}\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+f_{x}\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+f_{y}\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}$

menjadi diferensial 2-bentuk yang didefinisikan pada permukaan S, dan jika

${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!}$

menjadi parameter pelestarian orientasi dari S dengan ${\displaystyle (s,t)}$ di D. Mengubah koordinat dari ${\displaystyle (x,y)}$ untuk ${\displaystyle (s,t)}$, bentuk diferensial berubah sebagai

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Begitu ${\displaystyle \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$ berubah menjadi ${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\wedge \mathrm {d} t}$, dimana ${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}}$ menunjukkan determinan dari Jacobian dari fungsi transisi dari ${\displaystyle (s,t)}$ pada ${\displaystyle (x,y)}$. Transformasi bentuk lainnya serupa.

Kemudian, Permukaan integral f pada S diberikan oleh

${\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

where

${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}$

is the surface element normal to S.

Perhatikan bahwa integral permukaan bentuk-2 ini sama dengan integral permukaan bidang vektor yang memiliki komponen ${\displaystyle f_{x}}$, ${\displaystyle f_{y}}$ dan ${\displaystyle f_{z}}$.

Berbagai hasil yang berguna untuk integral permukaan dapat diturunkan menggunakan geometri diferensial dan kalkulus vektor, seperti teorema divergensi, dan generalisasinya, teorema Stokes.

• Teorema divergensi
• Teorema Stokes
• Garis integral
• Elemen volume
• Integral volume
• Sistem koordinat Cartesius
• Elemen volume dan luas permukaan dalam sistem koordinat bola
• Elemen volume dan luas permukaan dalam sistem koordinat silinder
• Metode Holstein–Herring

• Surface Integral — from MathWorld
• Surface Integral — Theory and exercises