Besaran (matematika)

Besaran atau magnitude dalam matematika adalah ukuran suatu objek matematika, suatu ukuran yang membandingkan objek itu sebagai "lebih besar" atau "lebih kecil" dengan objek sejenis yang lain. Lebih formalnya, besaran suatu objek adalah penataan (atau penempatan ranking) kelas objek pada kelompoknya.

Orang Yunani membedakan beberapa jenis besaran,^[1] termasuk:

• Pecahan positif
• Segmen garis (ditata menurut panjang)
• Objek datar (ditata menurut luas)
• Benda padat (ditata menurut volume)
• Sudut (ditata menurut besaran angular)

Mereka membuktikan bahwa dua kelompok pertama tidak dapat merupakan sistem besaran yang sama atau isomorfik.^[2] Mereka tidak menganggap besaran negatif itu berguna, dan besaran masih terutama digunakan dalam konteks nol adalah ukuran terendah atau terkecil dari segala ukuran.

Besaran suatu bilangan biasanya disebut "nilai mutlak", "nilai absolut" atau "modulus", dilambangkan dengan |x|.

Nilai mutlak suatu bilangan real r didefinisikan sebagai:^[3]

${\displaystyle \left|r\right|=r,{\text{ jika }}r{\text{ ≥ }}0}$

${\displaystyle \left|r\right|=-r,{\text{ jika }}r<0.}$

Dapat dipandangn sebagai jarak bilangan tersebut dari bilangan nol pada garis bilangan real. Misalnya, nilai mutlak bilangan 7 maupun bilangan −7 sama-sama adalah 7.

Bilangan kompleks z dapat dipandang sebagai posisi suatu titik P dalam suatu ruang 2-dimensi, yang disebut planar kompleks. Nilai absolut atau modulus dari z dapat dipandang sebagai jarak P dari titik origin ruang itu. Rumus untuk nilai absolut z = a + bi mirip dengan rumus norma suatu vektor dalam ruang 2-dimensi:^[4]

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

di mana masing-masing bilangan real a dan b adalah bagian bilangan real dan bagian bilangan imajiner dari z. Misalnya, modulus −3 + 4i adalah ${\displaystyle {\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5}$. Dengan cara lain, besaran bilangan kompleks z dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat dari produk bilangan itu dengan konjugat kompleksnya, z^∗, di mana untuk setiap bilangan kompleks z = a + bi, kompleks konjugatnya adalah z^∗ = a − bi.

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

( recall ${\displaystyle i^{2}=-1}$ )

Suatu vektor Euklidean melambangkan posisi suatu titik P dalam ruang Euklidean. Secara geometri, dapat dikatakan sebagai suatu panah dari origin ruang (ekor vektor) ke titik itu (ujung vektor). Secara matematis, vektor x dalam suatu ruang Euklidean berdimensi-n dapat didefinisikan sebagai suatu daftar tertata dari n bilangan real (koordinat Kartesius dari P): x = [x₁, x₂, ..., x_n]. Besaran atau panjangnya secara umum didefinisikan sebagai norma Euklidean (atau panjang Euklidean):^[5]

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|:={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Misalnya, dalam ruang 3-dimensi, besaran [4, 5, 6] adalah √(4² + 5² + 6²) = √77 atau kira-kira 8,775.

Ini ekuivalen dengan akar kuadrat produk skalar dari vektor itu sendiri:

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|:={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.}$

Norma Euklidean suatu vektor hanyalah suatu kasus khusus jarak Euklidean: jarak antara ekor dan ujungnya. Dua notasi yang mirip telah digunakan untuk norma Euklidean suatu vektor x:

1. ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|,}$
2. ${\displaystyle \left|\mathbf {x} \right|.}$

Kekurangan dari notasi kedua adalah notasi itu juga digunakan untuk menyatakan nilai absolut skalar dan determinan suatu matriks sehingga maknanya dapat rancu.

Sering kali lebih mudah membandingkan besaran dengan menggunakan skala logaritma. Contoh nyata antara lain: tingkat kenyaringan suara (desibel), kecerahan suatu bintang, atau Skala Richter pada pengukuran intensitas gempa bumi. Besaran logaritma dapat bernilai negatif. Biasanya tidak bermakna banyak jika hanya menambah atau mengurangi.

Dalam matematika lanjutan, juga dalam percakapan pada budaya populer, frasa "tingkat besaran" ("order of magnitude") digunakan untuk menyatakan suatu perubahan dalam kuantitas terbilang, biasanya suatu pengukuran, dengan "faktor 10" (atau "10 kali lipat") baik lebih tinggi atau lebih rendah; yaitu dengan memindahkan tanda koma desimal ke depan atau ke belakang, bisa saja dengan penambahan angka nol signifikan.^[6]

Kadang-kadang frasa "setengah tingkat besaran" ("half an order of magnitude") juga dipakai, umumnya lebih dalam konteks informal, untuk menunjukkan perubahan dalam skala 5 banding 1, atau juga 10^1/2 banding 1 (kira-kira 3,162 banding 1).

• Bilangan