超過剩數超過剩數(superabundant number,有時會簡稱SA)是指一正整數n,對於所有較小的正整數m,下式恆成立: 其中σ為除數函數,是所有正因數(包括本身)的和。 頭幾個超過剩數為: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, ... (OEIS數列A004394). 超過剩數是萊昂尼達斯·Alaoglu及保羅·艾狄胥在1944年定義的[1]。不過早在1919年時拉馬努金就有30頁的論文《Highly Composite Numbers》有關此一主題,但當時沒有發表,最後在1997年的拉馬努金期刊(Ramanujan Journal) 1中出版(第119至153頁),此論文的第59段定義了廣義的高合成數,其中也包括了超過剩數。 性質Alaoglu及保羅·艾狄胥證明若n為超過剩數,則存在i及a1, a2, ..., ai使得下式成立[1]: 其中pl為第l個質數,而且 換句話說,若n為超過剩數,n的因數分解的幂次會由前往後的遞減,因數分解越前面的質因數越小,但其幂次會越大。 事實上,除了n為4或36的特例外,ai(最大質因數的幂次)均為1。 超過剩數和高合成數之間有關,但不是所有的超過剩數都是高合成數。事實上只有 449個整數恰好超過剩數及高合成數。例如7560是高合成數,但不是超過剩數。Alaoglu及保羅·艾狄胥發現所有的超過剩數都是高過剩數,但不是所有的高過剩數都是超過剩數。也不是所有的超過剩數都是哈沙德數(可以被數字和整除的整數),第一個例外是第105個高過剩數149602080797769600,其數字和為81,但這個高過剩數無法被81整除。 超過剩數受人注意的另一原因是和黎曼猜想有關,根據羅賓定理,黎曼猜想等價於以下的式子: 針對所有大於已知最大例外值的正整數n,而已知最大例外值為超過剩數5040,若存在另外一些較大的數使得黎曼猜想不成立,則這些反例的最小值一定是另一個超過剩數[2]。 參考資料
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