超完全數

未解決的數學問題：存在奇數的超完全數嗎？

超完全數（superperfect number）是指一正整數 n 滿足下式：

其中σ為除數函數。超完全數可視為一種廣義的完全數，其英文superperfect number是由Suryanarayana在1969年開始使用[1]。

以4為例，4的因數有1, 2, 4，除數函數，其因數為1, 7，，因此, 4是超完全數。

頭幾個超完全數是：

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 （OEIS數列A019279）。

若n是偶數的超完全數，則n一定是2的乘幂2k，而且2k+1-1為梅森素数[1][2]。

目前還不知道是否存在奇數的超完全數，若存在奇數的超完全數n，n會是一個平方數，且n或σ(n)需為三個相異質數的倍數[2]。已知在小於7x1024的整數中沒有奇數的超完全數[1]。

廣義的超完全數

完全數及超完全數都可視為是範圍更大的m-超完全數的特例，m-超完全數滿足下式：

m=1及2時分別是完全數及超完全數，若m ≥ 3，不存在偶數的m-超完全數[1]。

m-超完全數則是(m,k)-完全數的特例，(m,k)-完全數滿足下式[3]：

若依此表示法，一般的完全數為(1,2)-完全數，多重完全數是(1,k)-完全數，超完全數是(2,2)-完全數，m-超完全數則是(m,2)-完全數[4]。以下是一個(m,k)-完全數的範例：

m k (m,k)-完全數 OEIS 数列
2 3 8, 21, 512 A019281
2 4 15, 1023, 29127 A019282
2 6 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024 A019283
2 7 24, 1536, 47360, 343976 A019284
2 8 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072 A019285
2 9 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936 A019286
2 10 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296 A019287
2 11 4404480, 57669920, 238608384 A019288
2 12 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120 A019289
3 任意數 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ... A019292
4 任意數 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ... A019293

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Guy (2004) p.99
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. (编). Superperfect Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  3. ^ Cohen & te Riele (1996)
  4. ^ Guy (2007) p.79