簡單多胞形

三維關聯多面體（英语：Associahedron）。每個頂點都恰好與三個邊、三個面相鄰，因此這是一個簡單多胞形

在幾何學中，d維簡單多胞形（或稱簡單d維多胞形）是指頂點恰好只與d條稜（或d個維面）相接的d維多胞形。 d維簡單多胞形的頂點圖為(d−1)維單純形。[1]

簡單多胞形在拓樸上的對偶是單純多胞形（英语：Simplicial polytope）。同時是單純多胞形又是簡單多胞形的幾何體是單純形或二維多邊形[註 2]。 在這個定義下的三維情形是簡單多面體，這種簡單多面體[註 3]是指每個頂點指與三個面相鄰或每個頂點只與三條稜相接的多面體。這種簡單多面體的對偶多面體為「單純多面體」（即三角面多面體），其所有面都是三角形。[2]

範例

三維空間的簡單多胞形可稱為簡單多面體[註 3]，其包括了稜柱（包括立方體）、正四面體和正十二面體，也有包括部分的阿基米德立體：截角四面體、截角立方体、截角八面體、大斜方截半立方体、截角十二面体、截角二十面體和大斜方截半二十面体。 一般來說，任何多面體都可以透過截去分支度為4或更高分支度的頂點來轉換成簡單多面體。 例如截對角偏方面體是截去偏方面體的高分支度頂點構成的，截對角偏方面體也是一種簡單多面體。

四維空間的簡單多胞形包括了正一百二十胞体和超立方體。簡單均勻四維多胞形（英语：Uniform 4-polytope）包括了截角正五胞体、截角超立方體、截角正二十四胞体、截角正一百二十胞体、柱體柱。此外，所有的過截角四維多胞體都是簡單多胞形。

更高維度的簡單多胞形包括了d維單純形、超方形、關聯多面體（英语：Associahedron）和排列多面體（英语：Permutohedron）。

唯一建構

米夏·佩爾斯（英语：Micha Perles）推測簡單多胞形完全由其一階骨架（1-skeleton）所決定。[3]他的猜想於 1987年被羅斯威莎·布林德（英语：Roswitha Blind）和彼得·馬尼·萊維茨卡（Peter Mani-Levitska）證明。後來吉爾卡萊（英语：Gil Kalai）基於唯一沉向（英语：unique sink orientations）理論對此結論提供了更簡潔的證明。[4]

參見

• 單純多胞形（英语：Simplicial polytope）

註釋

1. 多邊形中，有位於實空間和複空間的多邊形，位於複空間的多邊形稱為複多邊形，兩者性質有些許不同，因此在特定情況下需要明確區分。
2. 由於簡單多胞形是指在該形狀所在的維度下，頂點分支度與維度數相同的幾何結構。 而所有實空間[註 1]平面多邊形頂點的分支度皆為2，因此在多邊形中，「簡單多邊形」這個術語通常不是指簡單多胞形在二維空間的類比，而是指另一個概念——周界不相交的多邊形。詳見簡單多邊形。
3. 簡單多面體有兩種定義，一種是簡單多邊形推廣到三維空間的多面體，這種多面體的定義是不存在自相交之面的多面體；另外一種定義是簡單多胞形的三維特例，也稱為簡單多面體。實際上要依照前後文進行判斷是指哪一種立體。

參考文獻

1. Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer: 8, 2012, ISBN 9780387943657 
2. Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 341, 1997, ISBN 0-521-66405-5 
3. Blind, Roswitha; Mani-Levitska, Peter, Puzzles and polytope isomorphisms, Aequationes Mathematicae, 1987, 34 (2-3): 287–297, MR 0921106, doi:10.1007/BF01830678 
4. Kalai, Gil, A simple way to tell a simple polytope from its graph, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 1988, 49 (2): 381–383, MR 0964396, doi:10.1016/0097-3165(88)90064-7