在幾何學 中,截角四面體 是一種半正 八面體 ,13種阿基米德立體 之一,共有8個面、18個邊和12個頂點,是三角化四面體 的對偶多面體 ,可由四面體經過適當的截角 ,截去四面體 的四個頂點所產生的多面體。
若進行更深的截角,甚至截到了中點 ,則稱為截半 四面體 ,然而此種多面體與正八面體 是等價的[ 1] 。
由於截角四面體具有六邊形與三角形的面,因此也是一種戈德堡多面體 ,其戈德堡符號 計為GIII (1,1)。
此外,由於截角四面體可以由立方體透過斜截變換構成,即先交錯 、再截角 ,因此,截角四面體又稱為斜截立方體 或截角交錯立方體 ,在考克斯特符號 中計為 ,頂點數為小斜方截半立方體 的一半,因此兩個截角四面體可以構成一個凸包 為小斜方截半立方體 的截角星形八面體 ,此種立體也稱為二複合截角四面體 。[ 2]
性質
截角四面體 是半正多面體 之一,由4個等邊三角形 和4個正六邊形 組成,有12 個頂點和18 條棱,可以想象為將正四面體 的頂點切去。
座標
在直角坐標系 中,將幾何中心 位於原點 邊長為
8
{\displaystyle {\sqrt {8}}}
的四面體截角 產生了12個頂點,以(±3, ±1, ±1),(±1, ±3, ±1),(±1, ±1, ±3) (其中每組坐標的±數目都是奇數個)為頂點,構成了一個截角四面體。12個頂點位置如下:
(+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
(−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
(−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
(+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)
正交投影 顯示截角四面體可置於一個(±3,±3,±3)的邊框內。
截角四面體的六邊形面可分割為6共面的正三角形。其產生了四個新頂點 : (-1,-1,-1), (-1,+1,+1), (+1,-1,+1), (+1,+1,-1).
頂點(±1,±1,±3)的全排列產生了兩個互補的截角四面體,可將之結合成一個複合多面體 ,即截角星形八面體 。
體積與表面積
邊長為
a
{\displaystyle a}
的截角四面體,其表面積為
7
3
a
2
{\displaystyle 7{\sqrt {3}}a^{2}}
,體積為
23
12
2
a
3
{\displaystyle {\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}}
。[ 3]
A
=
7
3
a
2
≈
12.12435565
a
2
{\displaystyle A=7{\sqrt {3}}a^{2}\approx 12.12435565a^{2}}
V
=
23
12
2
a
3
≈
2.710575995
a
3
.
{\displaystyle V={\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 2.710575995a^{3}.}
交角
三角形與六邊形的交角:
arccos
−
1
3
{\displaystyle \arccos {\frac {-1}{3}}}
,約為109.47122063449069136924599933996°
六邊形與六邊形的交角:
arccos
1
3
{\displaystyle \arccos {\frac {1}{3}}}
,約為70.528779365509308630754000660038°
兩個六邊形的共線與三角形的交角:
arccos
−
1
3
{\displaystyle \arccos {\frac {-1}{\sqrt {3}}}}
,約為125.26438968275465431537700033002°
作法
將一個正四面體透過截角變換 構造,即將正四面體 的四个頂點切去就可以得到一個截角四面體 。
正交投影
正交投影
中心
標準邊
標準面
邊
面/頂點
圖像
對偶圖像
投影 對稱群
[1]
[1]
[3]
[4]
球面鑲嵌
相關多面體及鑲嵌
正四面体家族半正多面体
对称性 : [3,3] , (*332)
[3,3]+ , (332)
{3,3}
t0,1 {3,3}
t1 {3,3}
t1,2 {3,3}
t2 {3,3}
t0,2 {3,3}
t0,1,2 {3,3}
s{3,3}
半正多面体对偶
V3.3.3
V3.6.6
V3.3.3.3
V3.6.6
V3.3.3
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.3.3.3.3
軌形對稱
變異對稱
其他多面體
三角化截角四面體
三角化截角四面體
三角化截角四面體為截角四面體進行三角化變換的結果,即將截角四面體的三角形面加入三角錐 。
三角化變換是一種克利多面體變換 ,意指在多面體表面疊上錐體,關於截角四面體的另外一種克利多面體變換 則是在六邊形 面加入六角錐 ,所構成的立體為六角化截角四面體 。
截角四面體圖
在圖論的數學領域中,與截角四面體相關的圖為截角四面體圖 ,其與截角四面體有相同的拓樸結構,是一種阿基米德圖 [ 5] [ 6] ,其頂點與邊的數量及結構都與阿基米德立體 中的截角四面體相同,具有12個頂點和18個邊[ 7] 。屬於連結立體圖(英語:connected cubic graph )[ 8] ,也是一種連結立體可遞的圖[ 9] 。
參見
參考文獻
^ Chisholm, Matt; Avnet, Jeremy. Truncated Trickery: Truncatering . theory.org. 1997 [2013-09-02 ] . (原始内容存档 于2014-07-21).
^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X . (Section 3-9)
^ Weisstein, Eric W. (编), Truncated tetrahedron , (Archimedean solid) , at MathWorld --A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. (英语)
^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 An Atlas of Graphs, page=172, C105
^ Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press, 1998
^ Weisstein, Eric W. (编). Truncated tetrahedral graph . at MathWorld --A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语) .
^ An Atlas of Graphs, page=267, truncated tetrahedral graph
^ An Atlas of Graphs, page=130, connected cubic graphs, 12 vertices, C105
^ An Atlas of Graphs, page=161, connected cubic transitive graphs, 12 vertices, Ct11
外部連結
星號*表示該立體屬於
阿基米德立體 。
黃色和紅色為來自原像的面;藍色為截邊出現的正方形面;灰色為扭稜出現的三角形面。