正三角形鑲嵌
正三角形鑲嵌 | 類別 | 正鑲嵌 |
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對偶多面體 | 正六邊形鑲嵌 |
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鮑爾斯縮寫
| trat |
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考克斯特符號
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=
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施萊夫利符號 | {3,6} {3[3]} |
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威佐夫符號
| 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3 |
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康威表示法 | dH |
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梵奧斯截面
| 無限邊形[2] |
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頂點圖 | 3.3.3.3.3.3(或36) |
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頂點佈局
| 36 |
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對稱群 | p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3[3]], (*333) p3, [3[3]]+, (333) |
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旋轉對稱群
| p6, [6,3]+, (632) p3, [3[3]]+, (333) |
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在幾何學中,正三角形鑲嵌、又稱為正三角方格[3]是一種正多邊形在平面上的密鋪,又稱正鑲嵌圖。
命名
康威稱正三角形鑲嵌為deltille。deltille一詞來自於外形為三角形的希臘字母 Delta (Δ),有時也稱作六角化正六邊形鑲嵌。
性質
由於正三角形鑲嵌是由正三角形組成,又因正三角形內角為60度,因此每個頂點周圍都有6個三角形,且剛好占滿360度。
正三角形鑲嵌在施萊夫利符號中,用{3,6}表示。
正三角形鑲嵌是三個的平面正鑲嵌圖之一。另外兩個是正方形鑲嵌和正六邊形鑲嵌。
一般將畫在紙上的正三角方格稱作正三角格紙[3],正三角格紙是用來畫三維立體圖或三維透視圖用的。使用正三角格紙作圖會比較容易做出三維立體圖或三維透視圖,而且圖形看起來比較接近三維[3]。
上色的正三角形鑲嵌
正三角形鑲嵌有九種不同的上色方式,他們依頂點周為顏色數來命名: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314。
上色 索引
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111111
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121212
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121314
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121213
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圖示
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上色
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對稱群
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*632 (p6m) [6,3]
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*333 (p3m1) [3[3]] = [1+,6,3]
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333 (p3) [3[3]]+
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3*3 (p31m) [6,3+]
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Wythoff符号
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6 | 3 2
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3 | 3 3
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| 3 3 3
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考克斯特符号
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=
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A2晶格和圆堆砌
正三角形镶嵌的顶点排布被称作A2晶格[4]。正三角形镶嵌是单纯形堆砌家族的二维成员。
A2*晶格(又称A23),可由所有3种A2晶格组合得来,就等价于A2晶格。
- + + = 的对偶 =
以正三角形镶嵌的顶点为圆心,我们可以得到二维的最密圆堆砌,每个圆都与6个相邻圆接触(接触数),堆砌密度为或90.69%。由于3个A2晶格组合还是A2晶格,这种圆堆砌种的圆可被涂成三种颜色。
A2晶格的沃罗诺伊图是正六边形镶嵌,它也是正三角形镶嵌的对偶。因此,正六边形镶嵌也与最密圆堆砌有直接的对应关系。
相關半正鑲嵌
正三角形镶嵌家族的半正镶嵌
对称性: [6,3], (*632)
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[6,3]+, (632)
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[1+,6,3], (*333)
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[6,3+], (3*3)
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{6,3}
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t0,1{6,3}
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t1{6,3}
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t1,2{6,3}
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t2{6,3}
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t0,2{6,3}
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t0,1,2{6,3}
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s{6,3}
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h{6,3}
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h1,2{6,3}
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半正对偶
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V6.6.6
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V3.12.12
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V3.6.3.6
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V6.6.6
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V3.3.3.3.3.3
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V3.4.12.4
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V.4.6.12
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V3.3.3.3.6
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V3.3.3.3.3.3
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从六邊形鑲嵌可利用“交错”操作將六邊形鑲嵌變成三角形鑲嵌。
交錯2n邊形鑲嵌系列:
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球面鑲嵌
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多面體
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歐式鑲嵌
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緊湊雙曲鑲嵌
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仿緊空間
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非緊空間
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n
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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∞
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2n邊形鑲嵌
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{2,3}
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{4,3}
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{6,3}
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{8,3}
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{10,3}
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{12,3}
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{∞,3}
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{iπ/λ,3}
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交錯2n邊形鑲嵌
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h{2,3}
|
h{4,3}
|
h{6,3}
|
h{8,3}
|
h{10,3}
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h{12,3}
|
...
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h{∞,3}
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h{iπ/λ,3}
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相关
參考文獻
阅读
- Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
- Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
- 埃里克·韦斯坦因. Triangular Grid. MathWorld.
- Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2. bendwavy.org.
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. p35
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
- Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481
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