Теорема Шмідта

Теорема Шмідта — теорема про властивості розширення локально скінченної групи.

Формулювання

Розширення ${\displaystyle G}$ локально скінченної групи ${\displaystyle A}$ за допомогою локально скінченної групи ${\displaystyle G/A}$ саме локально скінченне.

Доведення

Перевіримо, що кожна скінченна множина ${\displaystyle M}$ з ${\displaystyle G}$ породжує скінченну підгрупу. За умовою фактор-група ${\displaystyle gr(M,A)/A}$ скінченна. Збільшивши, якщо потрібно, множину ${\displaystyle M}$, вважатимемо, що вона замкнута відносно обернених елементів та містить представників усіх суміжних класів ${\displaystyle gr(M,A)}$ за ${\displaystyle A}$. Тоді для будь-яких ${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle xy={\overline {xy}}a_{x,y}}$, де ${\displaystyle {\overline {xy}}\in M}$, ${\displaystyle a_{x,y}\in A}$ . Звідси випливає, що будь-який добуток елементів із ${\displaystyle M}$ можна записати як добуток деякого елемента з ${\displaystyle M}$ на добуток деяких ${\displaystyle a_{x,y}}$. Оскільки всілякі ${\displaystyle a_{x,y}}$ породжують скінченну підгрупу, все доведено.

Література

• Каргаполов, М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М. : Наука, 1972. — С. 208.