Локально скінченна група

У математиці, в галузі теорії груп, локально скінченна група — це група, яка певним чином (як індуктивна границя) будується зі скінченних груп. Як і для скінченних груп, для локально скінченних груп вивчаються підгрупи Силова, підгрупи Картера тощо.

Визначення

Найчастіше використовуються такі визначення:

Локально скінченною групою називають групу, кожна скінченно породжена підгрупа якої є скінченною.

Локально скінченною групою називають групу, в якої кожна скінченна підмножина міститься в скінченній підгрупі.

Ці визначення рівносильні.

Приклади

• Скінченна група є локально скінченною.
• Пряма сума скінченних груп є локально скінченною[1].
• Квазициклічна група є локально скінченною.
• Гамільтонова група є локально скінченною.
• Періодична лінійна група є локально скінченною[2].
• Розв'язна періодична група є локально скінченною.

Властивості

Теорема Шмідта: клас локально скінченних груп замкнутий відносно взяття підгруп, фактор-груп і розширень[3].

Кожна група має єдину максимальну локально скінченну підгрупу[4].

Будь-яка нескінченна локально скінченна група містить нескінченну абелеву підгрупу[5].

Якщо локально-скінченна група містить скінченну максимальну p-підгрупу, то всі її максимальні p-підгрупи спряжені, причому, якщо їх кількість скінченна, то вона порівнянна з 1 за модулем p (див. також Теореми Силова).

Якщо кожна зліченна підгрупа локально скінченної групи містить не більш ніж зліченну кількість максимальних p-підгруп, то всі її максимальні p-підгрупи спряжені[3].

Див. також

• Задача Бернсайда
• Скінченна p-група

Примітки

1. Robinson, 1996, с. 443.
2. Curtis, Charles; Reiner, Irving (1962), Representation Theory of Finite Groups and Associated Algebras, John Wiley & Sons, с. 256—262
3. Robinson, 1996, с. 429.
4. Robinson, 1996, с. 436.
5. Robinson, 1996, с. 432.

Посилання

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6