Права порядкова топологія

Пра́ва поря́дкова тополо́гія — топологія на лінійно впорядкованій множині ${\displaystyle X}$, породжена множинами вигляду ${\displaystyle S_{a}}$ = {${\displaystyle x}$ ∈ ${\displaystyle X}$| ${\displaystyle x}$ > ${\displaystyle a}$}, ${\displaystyle a}$ ∈ ${\displaystyle X}$.

Визначення

Якщо ${\displaystyle X}$ — лінійно впорядкована множина, тоді топологія, породжена базисними множинами вигляду ${\displaystyle S_{a}=\{x\in X|x>a\},\ a\in X}$, називається правою порядковою топологією на ${\displaystyle X}$. Ліва порядкова топологія визначається аналогічним чином, використовуючи множини ${\displaystyle P_{a}=\{x\in X|x<a\},\ a\in X}$.

Властивості

• Для будь-якої точки ${\displaystyle a\in X}$ кожен елемент ${\displaystyle x<a}$ є граничною точкою для ${\displaystyle \{a\}}$, звідки замикання будь-якої непорожньої відкритої множини є весь простір ${\displaystyle X}$, і кожна права порядкова топологія є слабко зліченно компактною.
• ${\displaystyle X}$ є гіперзв’язним і ультразв’язним, а отже лінійно зв’язним, локально зв’язним та псевдокомпактним.
• ${\displaystyle X}$ локально компактний, але він є компактним тоді і тільки тоді, коли він містить перший елемент. Але оскільки замикання будь-якої відкритої множини є весь простір, то ${\displaystyle X}$ є сильно локально компактним тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle X}$ компактний.
• Якщо ${\displaystyle x}$ < ${\displaystyle y}$, тоді ${\displaystyle S_{x}}$ є відкритим околом ${\displaystyle y}$, який не містить ${\displaystyle x}$. Звідси ${\displaystyle X}$ є ${\displaystyle T_{0}}$-простором, але не ${\displaystyle T_{1}}$-простором. Таким чином, він не є ${\displaystyle T_{2}}$, ${\displaystyle T_{3}}$ чи ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$-простором. Але ${\displaystyle X}$ є ${\displaystyle T_{4}}$ і ${\displaystyle T_{5}}$-простором.
• ${\displaystyle X}$ не є досконалим ${\displaystyle T_{4}}$-простором, оскільки єдина відкрита множина, яка містить будь-яку замкнену множину, є ${\displaystyle X}$.
• Особливим випадком є права порядкова топологія на множині ${\displaystyle \mathbb {R} }$ всіх дійсних чисел. Позначимо цей простір ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})}$. Тоді ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})}$ задовольняє другу аксіому зліченності, оскільки ${\displaystyle \{S_{r}\}_{r\in Q}}$ є зліченною базою для ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. Таким чином, ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})}$ ліндельофів, і тому не зліченно компактний, оскільки не є компактним. Але оскільки ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})}$ є і локально компактним, і ліндельофовим, він ${\displaystyle \sigma }$-компактний.
• Кожна множина ${\displaystyle P_{r}=\{x\in R|x<r\}}$ є ніде не щільною в ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})}$, тому ${\displaystyle \mathbb {R} }$, який дорівнює ${\displaystyle \cup P_{r}}$, є простором першої категорії. Але кожна ${\displaystyle P_{r}}$ є щільною в собі.
• Відкрите покриття ${\displaystyle \{S_{n},n\in \mathbb {Z} \}}$ простору ${\displaystyle \mathbb {R} }$, не має точково скінченного вписаного покриття, тому ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})}$ не є зліченно метакомпактним.
• Будь-яка скінченна множина в ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})}$ має безліч граничних точок, але не ${\displaystyle \omega }$-граничних точок (точок накопичення). Таким чином, якщо ми додамо до скінченної множини її ${\displaystyle \omega }$-граничні точки, ми не отримаємо замкнену множину.

Див. також

• Дискретна топологія
• Антидискретна топологія
• Топологія перекривних інтервалів

Література

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (приклади 49, 50)