Ніде не щільна множина

В топології множина ${\displaystyle A}$ топологічного простору ${\displaystyle (X,\tau )}$ називається ніде не щільною тоді і тільки тоді, коли множина внутрішніх точок її замикання є порожньою:

${\displaystyle \operatorname {int} \;\operatorname {cl} \;A=\emptyset }$.

Інакше кажучи множина не є щільною в жодному околі простору ${\displaystyle X}$.

Лема

Множина ${\displaystyle A\subseteq X}$ є ніде не щільною в ${\displaystyle X}$ тоді і тільки тоді, коли в кожній непустій відкритій множині ${\displaystyle U}$ можна знайти непусту відкриту множину ${\displaystyle V}$, що не перетинається з ${\displaystyle A}$ (тобто ${\displaystyle V\subseteq U\setminus A}$).

Властивості

• Сім'я ${\displaystyle {\rm {NWD}}(X)}$ всіх ніде не щільних множин простору ${\displaystyle X}$ утворюють ідеал підмножин ${\displaystyle X}$, тобто

якщо ${\displaystyle A,B\in {\rm {NWD}}(X)}$, то ${\displaystyle A\cup B\in {\rm {NWD}}(X)}$,

якщо ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(X)}$ і ${\displaystyle B\subseteq A}$, то ${\displaystyle B\in {\rm {NWD}}(X)}$,

${\displaystyle X\notin {\rm {NWD}}(X)}$.

• Якщо ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X}$ і ${\displaystyle A}$ є ніде не щільною в ${\displaystyle Y}$ ( ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(Y)}$, де топологія в ${\displaystyle Y}$ успадкована від ${\displaystyle X}$), тоді ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(X)}$.
• Нехай ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X}$ і ${\displaystyle Y}$ щільною підмножиною в ${\displaystyle X}$. Тоді ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(X)}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(Y)}$.
• Множина ${\displaystyle A}$ є ніде не замкнутою тоді і тільки тоді, коли її замикання є ніде не щільною множиною. Таким чином кожна ніде не щільна множина міститься в деякій замкнутій ніде не щільній множині.
• Замкнута ніде не щільна множина є границею відкритої множини.

Див. також

• Множина першої категорії
• Щільна множина
• Щільність множини

Література

• Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968